Operacions amb vectors i càlculs matemàtics

Càlcul vector a partir de dos punts: AB = B - A = (b₁ - a₁, b₂ - a_2>) --> (v₁, v_2>)

Mòdul d'un vector (distància que hi ha entre els dos punts) v = (v1)² + (v2)²

Dos vectors són de la mateixa direcció si tenen el mateix angle angle = arctan(v₂ / v₁)

Vectors equipolents: mateixa direcció, mòdul i sentit (són paral·lels)

Vector unitari: el seu mòdul és 1 --> calcular el mòdul i dividir-lo per cada nombre

Suma i resta de vectors: a + b = (ax + bx, ay + by) a - b = (ax - bx, ay - by)

Multiplicació d'un vector per un nombre real k k · (ax, ay) = (kax, kay)

Combinació lineal de vectors --> w = k · u + h · v

Producte escalar entre dos vectors: u · v = xu · xv + yu · yv o u · v = u · v · cos(x)

Cos(x) = u · v / u · v --> arccos base canònica: w = k · u + h · v

Punt mitjà d'un fragment --> M = (a₁ + b₁ / 2, a₂ + b₂ / 2)

Llei fonamental de la trigonometria: sin² x + cos² x = 1 tan(x) = sin x / cos x

Reducció al primer quadrant: sin(180 - x) sin(180 + x) sin(360 - x)

Teorema del cosinus: a² = b² + c² - 2 · b · c · cos A c² = a² + b² - 2 · a · b · cos C

Teorema del sinus: 2R =

Equacions: P(-1,2) i Q(1,5) --> PQ = (2,3)

Vectorial: (x, y) = (q₁, q₂) + k · (v₁, v₂) (x, y) = (1,5) + k · (2,3)

Paramètrica: x = 1 + k · 2 x = 5 + k · 3

General: -3x + 2y + C = 0 --> -3 · 1 + 2 · 5 + C = 0 --> -7

Explícita: y = mx + n --> 2y = 3x + 7 --> y =

Calcular l'angle per buscar dos vectors: r(3,2) i s(-1,4)

r · s = r · s · cos x 3 · (-1) + 2 · 4 = 3² + 2² · (-1)² + 4² = -5 = 13 · 17 · cos x --> arccos(5 / 211) = 68,86

Distància entre 1 punt i 1 recta general P(1,-2) r = 3x + 4y - 5 = 0 v = (-4,3)

D(p,r) =

Equació circumferència (x - a)² + (y - b)² = r²

r = 3 i c = (1,-2) --> (x - 1)² + (y + 2)² = 3²

3 punts: 1. buscar vector de AB i BC i punt mig dels dos vectors. Buscar v dels dos (-b, a) i després crear equació continua substituint a la dreta punt mig i a baix número del v perpendicular. I finalment amb els dos punts AO fer mòdul que és igual al radi.

Hipèrboles: eq. canònica -->

Vèrtexs --> (a,0) v. secundaris --> (0,b) focos --> (c,0) e = c/a

c² = a² + b² b² = c² - a² d₁ - d₂ = a

El·lipses: eq. canònica -->

Distància focal --> C r₁ + r₂ = a (semieix gran) 2a = eix gran 2b = eix petit

a² = c² + b² e = c/a

Resum limits general:

0 / núm = 0 núm / 0 = laterals (1⁺ i 1^-) 0/0 = IND on primer Ruffini i després factor comú

Continuïtat d'una funció a trossos: 1^- i 1⁺

Si són iguals és contínua, si algun és infinit és asimptòtica, si els dos límits són diferents és de salt i si són altres és evitable

Vèrtex funció quadràtica = -b / 2 · a

f(x) = 2x² + 8x + 7 v = -8 / 2x² = -2 i per calcular el valor mínim es substitueix la x per -2

Nombres complexos a + bi --> forma binòmica mòdul i angle --> forma polar

Binòmica --> polar z = (2)² + (3)² = 13 angle = arctan(3 / 2) = 56,3

Polar --> binòmica part real = 13 · cos 56,3 = 2 part imag = 13 · sin 56,3 = 3

(2 + i) + (-3 - 2i) = 2 - 3 + i - 2i = -1 - i

(2 + i) - (-3 - 2i) = 2 + 3 + i + 2i = 5 - 3i

(2 + i) · (-3 - 2i) = -6 - 4i - 3i - 2 · (-1) = -4 - 7i i² = -1

Polar --> 5 / 13_{153 - 213} = 5 / 13_{-60 + 360} = 5 / 13₃₀₀

log a b = c

(x + 2)⁴

1 · x⁴ · 2⁰ + 4 · x³ · 2¹ + 6 · x² · 2² + 4 · x · 2³ + 1 · x⁰ · 2⁴ =

x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16