Operacions amb Funcions Matemàtiques

Operacions amb Funcions:

Suma

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 5x + 3 + 2x - 1.

Resta

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = 5x + 3 - (2x - 1) = 5x + 3 - 2x + 1 = 3x + 4. // (f - g)(x) = 3x + 4.

Multiplicació

(f · g)(x) = f(x) · g(x) = (5x + 3) · (2x - 1) = 10x² - 5x + 6x - 3 = (f · g)(x) = 10x² + x - 3.

Divisió

(f / g)(x) = f(x) / g(x) = fracció: 5x + 3 entre 2x - 1.

Funció Composta

A(x), B(f(x)), C(g(f(x))) = (g · f)(x) // EJ: (g o f)(x) = g[f(x)] // f(x) = x³ + x² - 7x + 1 // g(x) = 4√(x - 1) entre x² + 2. // (g o f)(x) = g[x³ + x² - 7x + 1] = 4√(x³ + x² - 7x + 1 - 1) entre (x³ + x² - 7x + 1)² + 2.

Funció Inversa

(f o f^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = x = y // aïllar la x i després canviar la x per la y // f(x)y = 2x - 1 -- y + 1 = 2x -- fracció de y + 1 entre 2 = x -- y = fracció de x + 1 entre 2 = f^-1(x).

f(x) = y = fracció de 2x - 1 entre 4x + 11 = (4x + 11)·y = 2x - 1 -- 4xy + 11y = 2x - 1 -- 4xy - 2x = 1 - 11y -- x(4y - 2) = -1 - 11y -- x = fracció -1 - 11y entre 4y - 2 -- fracció de 1 + 11y entre 2 - 4y -- fracció de 1 + 11x entre 2 - 4x.

(f o f^-1)(x) = f[fracció de 1 + 11x entre 2 - 4x] = fracció 2·[fracció 1 + 11x entre 2 - 4x] - 1 entre 4[fracció 1 + 11x entre 2 - 4x] + 11 = fracció de 1 + 11x entre 1 - 2x - 1 entre fracció de 2(1 + 11x) entre 1 - 2x + 11 = simplificar.

Funcions Lineals

De proporcionalitat: y = m (pendent) x --- Afines: y = mx + n --- Constants: y = n.

Interpolació Lineal

f(x) = sub₀y + fracció de (sub₁y - sub₀y) entre (sub₁x - sub₀x) multiplicat (x - sub₀x).

Exemple: any i habitants, et donen 1900 i 1920 i vols saber 1910, x normal és el que vols trobar, sub₀x NO.

Funcions Quadràtiques

y (que és el mateix que f(x)) = ax² + bx + c.

Passos: vertex, punts de tall, taula de valors: ex: y = x² - 6x + 5.

Vertex: (fracció -b entre 2a, f(x_v), x_v, y_v), després calcules X_v = -b entre 2a i després calcules Y_v = la funció inicial substituint la x.

Punts de tall: eix x → y = 0 -- 0 = x² - 6x + 5, després calcules -b ± arrel de b² - 4·1·c entre 2·a.

Eix y → x = 0 -- y = 0² - 60 + 5; y = 5 (hem substituït les x per 0 de la fórmula inicial).

Taula de valors: posem els punts en la gràfica dels càlculs anteriors, si falten valors, fer taula.

Funcions de Proporcionalitat Inversa

f(x) = k entre x -- si k és + (línies corbades a 1 i 3) i si k és - (línies corbades a 2 i 4). Ex: f(x) = 2 entre x -- fem taula de valors (-2, -1, 0, 1, 2) i després representar gràficament, en aquests tipus de funcions: AV => x = 0 i AH => y = 0.

Exemple 2: y = 2 entre x - 3: fem taula de valors (0, 1, 2, 3, 4, 5) i després representar gràficament.

Exemple 3: y = 1 entre x + 1 + 2, fem taula de valors (-4, -3, ...) i representem gràficament i canviem el número +1 a -1.

Funcions Definides a Trossos

f(x) = (1) x + 3 si x ≤ 2 i (2) x - 1 si x > 2.

Pas 1: Y = X + 3, fer taula de valors horitzontal (0, 1, 2), veure si el 2 està inclòs o no, rodona o rodona sense omplir.

Pas 2: y = x - 1, fer taula (2, 3, 5), veure si el 2 està inclòs o no.

Exemple 2: f(x) = (1) 1 si x ≤ 0 i (2) x² + 1 si x > 0.

Pas 1: y = 1, fer taula (-2, -1, 0), mirar si el 0 està inclòs.

Pas 2: y = x² + 1, fem taula (0, 1, 2), veure si està el 0 inclòs o no. Representar gràficament.