Operaciones con Vectores: Producto Escalar, Vectorial y Mixto
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Producto Escalar
El producto escalar se obtiene multiplicando los módulos de los vectores a y b por el coseno del ángulo formado por ambos. Se indica con un punto:
a · b = |a| · |b| · cos(θ)
- cos(0°) = 1
- cos(90°) = 0
Forma Canónica
Se define como la sumatoria de sus componentes homólogos.
Propiedades
- Conmutativa: a · b = b · a
- Distributiva: respecto a la suma.
- Producto por un escalar: Si se multiplica uno de los vectores por un número, el producto escalar quedará multiplicado por dicho número.
Ángulo entre dos vectores
De la expresión a · b = |a| · |b| · cos(θ), se deduce que si el producto escalar es nulo (y ninguno de los vectores es nulo), los vectores son perpendiculares (θ = 90°).
Podemos considerar b · cos(θ) como la proyección del vector b sobre a.
[Gráfico]
Producto Vectorial
El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los vectores a y b por el seno del ángulo que forman. La dirección es perpendicular al plano determinado por ambos vectores.
El sentido se determina mediante la regla de la mano derecha: al girar el vector que premultiplica sobre el que posmultiplica en sentido antihorario. El ángulo θ está comprendido entre 0° y 180°.
El módulo del vector resultante es igual al área del paralelogramo construido por los vectores:
Vpv = a × b ⇒ |Vpv| = |a| · |b| · sen(θ)
Relaciones fundamentales
- i × j = k
- j × k = i
- k × i = j
Propiedades
No es conmutativo, posee propiedad distributiva (por izquierda y derecha) y no posee propiedad asociativa.
Se puede resolver mediante un determinante, colocando en la primera fila los vectores unitarios, en la segunda los componentes del vector que premultiplica y en la tercera los del que posmultiplica.
[Forma canónica]
Producto Mixto
El producto mixto de tres vectores es igual al volumen del paralelepípedo construido sobre los mismos a partir de un origen común.
El producto vectorial entre a y b genera un vector Vpv. El módulo de este representa el área del paralelogramo base. Al multiplicar escalarmente este resultado por el vector c, obtenemos la altura del paralelepípedo (proyección del vector c sobre el producto vectorial de a y b).
[Expresión cartesiana]