Operaciones con Polinomios y Resolución de Ecuaciones e Inecuaciones

Operaciones con Polinomios

Grado de un Polinomio

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios.

Suma y Resta de Polinomios

Para sumar o restar polinomios, se agrupan los términos semejantes y se operan sus coeficientes. Es fundamental prestar atención a los signos.

Multiplicación de Polinomios

Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio ("todos por todos"). Luego, se suman los términos semejantes.

División de Polinomios

La división de polinomios sigue un algoritmo similar a la división numérica. Existe la división tradicional y la regla de Ruffini.

División de Ruffini

La división de Ruffini es un método abreviado para dividir un polinomio por un binomio de la forma (x - k). Se utiliza una "caja" con el valor opuesto a 'k'. Es crucial tener cuidado con los signos y señalar claramente el cociente y el resto.

Factorización de un Polinomio

1. Sacar factor común, si es posible.
2. Encontrar las raíces utilizando la regla de Ruffini.
3. Crear una tabla de raíces y factores.
4. Multiplicar todos los factores.

Operaciones con Fracciones Algebraicas

Factorización de Fracciones Algebraicas

1. Factorizar el numerador y el denominador por separado.
2. Expresar la fracción como producto de factores.
3. Simplificar (tachar) los factores comunes en el numerador y el denominador.

Suma y Resta de Fracciones Algebraicas

Se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Se suman o restan los numeradores, manteniendo el denominador común. No se elimina el denominador, ya que no es una ecuación.

Multiplicación de Fracciones Algebraicas

Se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí (multiplicación en línea).

División de Fracciones Algebraicas

Se multiplica en cruz: numerador del primero por denominador del segundo, y denominador del primero por numerador del segundo.

Resolución de Ecuaciones

Ecuaciones de Segundo Grado

Se resuelven utilizando la fórmula cuadrática: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Si son incompletas, se pueden resolver de forma más sencilla. Prestar atención al doble signo (±).

Ecuaciones Bicuadradas

1. Realizar un cambio de variable: \(x^2 = t\).
2. Resolver la ecuación cuadrática resultante para 't'.
3. Deshacer el cambio de variable para encontrar los valores de 'x'.

Funciones de Grado 2 (Parábolas)

1. Calcular los puntos de corte con los ejes.
2. Calcular el vértice.
3. Determinar si la parábola es cóncava hacia arriba ("feliz") o hacia abajo ("triste").
4. Dibujar la parábola.

Ecuaciones con Raíces

1. Aislar una sola raíz en un lado de la ecuación.
2. Elevar ambos miembros al cuadrado.
3. Repetir el proceso si quedan más raíces.
4. Resolver la ecuación resultante.
5. Tener cuidado con los productos notables: \((a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab\)

Ecuaciones con 'x' en el Denominador

1. Calcular el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de todos los denominadores.
2. Multiplicar ambos lados de la ecuación por el m.c.m.
3. Eliminar los denominadores.
4. Resolver la ecuación resultante.

Sistemas de Ecuaciones

Se pueden resolver utilizando los métodos de sustitución, igualación o reducción.

Resolución de Inecuaciones

Inecuaciones con una Incógnita

Se despeja la incógnita como en las ecuaciones. Si el número que multiplica a la incógnita es negativo, se invierte el signo de la desigualdad. Se expresa la solución como un intervalo y se representa gráficamente.

Sistemas de Inecuaciones con una Incógnita

1. Resolver cada inecuación por separado.
2. Encontrar la intersección (\(\cap\)) de las soluciones.
3. Representar gráficamente la intersección.
4. Indicar el intervalo solución donde coinciden todas las soluciones.

Inecuaciones de Grado 2

1. Igualar la inecuación a cero.
2. Encontrar las soluciones (raíces) de la ecuación cuadrática.
3. Representar las raíces en la recta real (como si fuera una parábola).
4. Seleccionar los intervalos que cumplen la desigualdad.
5. Expresar la solución como un intervalo, utilizando la unión (\(\cup\)) si es necesario.

Inecuaciones con Dos Incógnitas

1. Igualar a cero.
2. Despejar 'y'.
3. Dibujar la recta resultante.
4. Determinar qué lado de la recta (o si la recta misma está incluida) satisface la inecuación.

Sistemas de Inecuaciones con Dos Incógnitas

1. Resolver cada inecuación por separado.
2. Dibujar las rectas correspondientes (preferiblemente con diferentes colores).
3. Identificar la región del plano que satisface todas las inecuaciones.
4. Indicar si las rectas están incluidas o no en la solución.