Operaciones con Monomios y Polinomios, Ecuaciones Irracionales, Logarítmicas y Racionales: Conceptos Clave

Operaciones con Monomios y Polinomios

Definición 3.6: Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o dividen sus coeficientes y se suman o restan los exponentes de las partes literales iguales, respectivamente. Se pueden multiplicar o dividir dos monomios que no sean semejantes.

Definición 3.9: Para multiplicar dos polinomios se va multiplicando cada monomio del primer factor por cada uno de los monomios del segundo factor y a continuación se reducen los términos semejantes.

MCD y MCM de Polinomios

MCD y MCM de polinomios: Para calcular el m.c.d y m.c.m de dos o más polinomios se procede de la siguiente manera:

1. Se factorizan ambos polinomios.
2. El m.c.d es igual al producto de todos los factores comunes de los polinomios afectados del mínimo exponente.
3. El m.c.m de esos polinomios es igual al producto de los factores comunes y no comunes afectados del mayor exponente.

Para comprobar: El m.c.d de dos polinomios multiplicado por el m.c.m de esos dos polinomios es igual al producto de los dos polinomios.

Ecuaciones Irracionales

Definición 4.5: Una ecuación se denomina irracional si la letra x está dentro de algún símbolo de la raíz.

Para resolverla se siguen los siguientes pasos:

1. Se selecciona una de las raíces que aparezcan en la ecuación y se despeja esta raíz seleccionada.
2. Con la raíz despejada se eleva al cuadrado la ecuación y entonces esa raíz despejada desaparecerá.
3. Si hubiese otra raíz en la ecuación se repiten los pasos 1 y 2 hasta que nos quedemos sin raíces.
4. Se resuelve la ecuación polinómica obtenida.
5. Las soluciones de esta ecuación polinómica pueden ser soluciones de la ecuación originaria, pero para ello es preciso comprobarlas, sustituyéndolas en la ecuación.

Ecuaciones Logarítmicas

Definición 4.6: Una ecuación se denomina logarítmica si la incógnita aparece en el argumento o en la base de un logaritmo.

La técnica para resolver una ecuación logarítmica es la siguiente:

1. Se van aplicando sucesivamente las propiedades de la función de logaritmo hasta transformar la ecuación en una igualdad de dos logaritmos con la misma base.
2. A continuación, se aplica el hecho de que la función logaritmo es una función inyectiva.
3. Finalmente, se resuelve esta ecuación que ya no es logarítmica y sus soluciones pueden ser las soluciones de la ecuación propuesta y, por tanto, tenemos que comprobarlas una tras otra.

RECORDATORIO: Ni el 0 ni números negativos tienen logaritmos y la base de una función logarítmica nunca puede ser 1 ni negativo.

Ecuaciones Racionales

Definición 4.4: Una ecuación se llama racional si contiene una o más fracciones algebraicas.

Simplificando la terminología, podemos decir que una ecuación es racional si contiene x en el denominador.

Para resolver una ecuación racional se siguen los siguientes pasos:

1. Se transforma en una ecuación polinómica mediante la multiplicación de toda la ecuación por un polinomio adecuadamente elegido, que puede ser el producto de todos los denominadores de las fracciones implicadas. También puede ser elegido como polinomio el m.c.m de todos los denominadores.