Ondas electromagnéticas y su representación matemática

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Escrito el 21 de Octubre de 2023 en español con un tamaño de 16,21 KB

I = S_media =S = (1 /μ_o.C)E²_medio

Una onda electromagnética se representa mediante una función senoidal:

E = E_o sen (kx – ωt)

Donde E_o es la amplitud de la onda, k el número de onda y ω la frecuencia angular.
Entonces:

$gif.Látex?S^{_{medio}}=\frac{1}{\mu&space;_{o}c}E_{medio}^{2}=\frac{1}{\mu&space;_{o}c}\left&space;[&space;E_{o}.Sen\left&space;(&space;kx-\omega&space;t&space;\right&space;)&space;\right&space;]_{medio}^{2}$ El valor medio de la función sen² x en un ciclo es ½. Formalmente se calcula mediante la siguiente expresión, que es posible verificar con ayuda de una tabla de integrales o efectuando la integral analíticamente:

Por lo tanto S_media queda como: $gif.Látex?S_{media}=\frac{1}{2\mu&space;_{o}c}E_{o}^{2}$ Cuando una fuente emite por igual en todas direcciones, la potencia se irradia según el inverso al cuadrado de la distancia a la fuente (figura 5). Si P_m es la potencia media, entonces, a una distancia r la intensidad I de la señal, está dada por:

Se utiliza la ecuación dada en el ejemplo 1 para encontrar la intensidad de la onda electromagnética, pero antes hay que expresar los valores en el Sistema Internacional:

10 kW = 10000 W 100 MHz = 100 x 10⁶Hz

Enseguida se sustituyen estos valores en la ecuación para la intensidad, puesto que se trata de una fuente que emite por igual a todos lados (fuente isotrópica):

$m^{2}$ Esta es precisamente la potencia media por unidad de área o valor promedio del módulo del vector de Poynting:

Anteriormente se dijo que las magnitudes de E y B estaban relacionadas por la velocidad de la luz:

E = cB B= (0.775 /300.000.000) T = 2.58 x 10^-9 T

S_medio es potencia por unidad de área y a su vez la potencia es energía por unidad de tiempo. Multiplicando S_medio por el área de la placa y por el tiempo de exposición, se obtiene el resultado pedido: 5 minutos = 300 segundos Área = (10/100)² m² = 0.01 m².U = 0.775 x 300 x 0.01 Joules = 2.325 Joules.

P1 + ρ. G. H1 + ½. ρ. V1² = P1 + ρ. G. H2 + ½. ρ. V2²

Donde:

P:

la presión hidrostática;
P:
la densidad;
G:
la aceleración de la gravedad;
H:
la altura del punto;
V:
la velocidad del fluido en ese punto.

Ley de Torricelli

Si en un recipiente que no está tapado se encuentra un fluido y se le abre al recipiente un orificio la velocidad con que caerá ese fluido será:

�=2��

La otra ecuación matemática que describe a los fluidos en movimiento es el número de Reynolds (adimensional):

��=�� $Re={\frac {\rho cD}{\mu }}$
El caudal o gasto es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define como el volumen de líquido Δ� $\Delta {V}$ que fluye por unidad de tiempo Δ� $\Delta {t}$ . Sus unidades en el Sistema Internacional son los m³/s y su expresión matemática:
�=Δ�Δ�
Esta fórmula nos permite saber la cantidad de líquido que pasa por un conducto en cierto intervalo de tiempo o determinar el tiempo que tardará en pasar cierta cantidad de líquido.
El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo valor en cualquier par de puntos del circuito. Su expresión matemática es:
�1+��ℎ1+12��12=�2+��ℎ2+12��22
donde � $P$ es la presión hidrostática, � $\rho$ la densidad, � $g$ la aceleración de la gravedad, ℎ $h$ la altura del punto y � $v$ la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2 se refieren a los dos puntos del circuito.
La otra ecuación que cumplen los fluidos no compresibles es la ecuación de continuidad, que establece que el caudal es constante a lo largo con todo el circuito hidráulico:
�=�1�1=�2�2
donde � $A$ es el área de la sección del conducto por donde circula el fluido y � $v$ su velocidad media.

Velocidad angular

Velocidad angular promedio

En la figura 2 a la derecha, que representa una vista desde z, el punto P' se ha movido con la rotación del cuerpo desde un ángulo θ₀ al ángulo θ en un intervalo Δt. La velocidad angular promedio ω_p debida al cambio del ángulo en el intervalo finito Δt es:

Velocidad angular instantánea

La definición de velocidad angular promedio incluye un intervalo de tiempo, y poco nos dice de las particularidades del movimiento. Obtendremos un mejor panorama si lo dividimos en intervalos cada vez más pequeños y calculamos la velocidad angular promedio en cada uno. Este proceso de división del intervalo de tiempo general en intervalos mas pequeños (nuevo y menor Δt) es posible continuarlo más y más, y cada vez calcular la velocidad angular promedio en esos nuevos intervalos.
Si seguimos comprimiendo a Δt llegará un momento en que tienda a ser cero, pero esta condición nunca se alcanza, ya que cada vez, el nuevo Δt es el resultado de dividir una cantidad finita lo que genera otra mas chica pero finita también. Sin embargo, y haciendo uso de una situación algo abstracta, podemos decir que cuando Δt tiende a ser cero hemos alcanzado el límite, lo que se simboliza como Δt ➝ 0. Es decir, nuestro Δt se convierte en infinitesimal. El cálculo de la velocidad angular promedio en el límite es lo que se llama velocidad angular instantánea. En un idioma más coloquial se podía definir la velocidad angular instantánea como la velocidad angular en un determinado instante cualquiera de tiempo durante un movimiento de rotación.
Matemáticamente la definición de velocidad angular instantánea adquiere la forma siguiente:

El ángulo θ se toma en radianes (2π rad = 360º) de manera que las unidades de la velocidad angular son radianes por segundo (rad/s). Debido a que el radián es una magnitud adimensional la unidad de ω es tiempo^-1 (1/T). Convencionalmente se toma la velocidad angular como positiva cuando el ángulo θ crece con el tiempo en la dirección contraria a las agujas del reloj partiendo del eje x.
Para el caso particular de que la velocidad angular sea constante, ω₀ = ω(t) entonces el ángulo θ crece de forma proporcional al tiempo, es decir:

θ = θ₀ + ω₀t (ecuación 3)

Aquí θ₀ es el ángulo en radianes al tiempo t₀.
Ya habíamos dicho que los puntos de un cuerpo rígido que rota alrededror de un eje lo hacen en un círculo. El tiempo en el que este círculo se completa se llama período y se representa como T. Debido a que un circulo completo tiene 2π rad:

T = 2π/ω₀ (ecuación 4)

La frecuencia de rotación f representa las veces que el punto P pasa por su posición de origen en un segundo en una rotación uniforme:

f = 1/T = ω₀/2π (ecuación 5)

Si la velocidad angular no es constante se define la aceleración angular promedio, α_p como:

Las unidad de la aceleración es radianes por segundo al cuadrado, y como los radianes son adimensionales, la dimensión de α es tiempo^-2. Si la aceleración angular es constante entonces la velocidad angular cambia proporcionalmente al tiempo, esto es: ω = ω₀ + αt (ecuación 7)

Donde ω₀ es la velocidad angular al tiempo t = 0. El ángulo θ resulta como:

θ(t) = θ₀ + ω₀t + ½αt² (ecuación 8)1

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P1 + ρ. G. H1 + ½. ρ. V1² = P1 + ρ. G. H2 + ½. ρ. V2²

P:

P:

G:

H:

V:

Ley de Torricelli

�=2��

�=Δ�Δ�

�1+��ℎ1+12��12=�2+��ℎ2+12��22

�=�1�1=�2�2

Velocidad angular

Velocidad angular promedio

Velocidad angular instantánea

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