Ondas Electromagnéticas: Propiedades, Ecuaciones y Aplicaciones en el Vacío

Campos Eléctricos y Magnéticos Variables en el Tiempo

Cuando los campos eléctricos (E) y magnéticos (B) varían en el tiempo (t), dejan de ser independientes. Un cambio en uno induce un campo del otro tipo en las regiones adyacentes del espacio. Esto da lugar a una perturbación electromagnética variable en el tiempo, que posee propiedades de onda. La denominamos onda electromagnética (OEM) plana. Esta onda es transversal: tanto E como B son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda, y también son perpendiculares entre sí. La dirección de propagación es la dirección de EΛB. La onda viaja en el vacío, sin necesidad de un medio para trasladarse, a una rapidez definida e invariable: c = 1/√(μ_oε_o).

Ecuación de una Onda Electromagnética en el Vacío

La ecuación de una OEM en el vacío es:

∂²E_y(x,t)/∂x² = μ_oε_o(∂²E_y(x,t)/∂t²)

Ondas Electromagnéticas Sinusoidales

En una OEM sinusoidal, E y B en cualquier punto del espacio son funciones sinusoidales del tiempo. En cualquier instante, la variación espacial de los campos también es sinusoidal. Algunas OEM sinusoidales son ondas planas.

Ecuación de una Onda Electromagnética Sinusoidal Plana que se Propaga en la Dirección +x

E_y(x,y) = E_maxCos(kx - wt)

B_z(x,y) = B_maxCos(kx - wt)

Densidad de Energía en una Región del Vacío con Campos Eléctricos y Magnéticos

En una región del vacío donde están presentes los campos E y B, la densidad total de energía "u" está dada por:

u = (1/2)ε_oE² + (1/(2μ_o))B²

donde ε_o y μ_o son, respectivamente, la permitividad y la permeabilidad del espacio libre. Para las OEM en el vacío, las magnitudes E y B están relacionadas por:

B = E/c = √(μ_oε_o)E

Combinando ambas ecuaciones, "u" se expresa como:

u = (1/2)ε_oE² + (1/(2μ_o))(√(μ_oε_o)E)² = ε_oE²

Flujo de Energía y Vector de Poynting

El flujo de energía por unidad de tiempo por unidad de área se denomina S y es:

S = (E x B)/μ_o

Es posible definir una cantidad vectorial que describa tanto la magnitud como la dirección de la tasa de flujo de energía:

S = (1/μ_o)EΛB (Vector de Poynting en el vacío) (S = W/m²)

El vector de Poynting (S) representa la rapidez a la cual fluye la energía a través de una superficie unitaria perpendicular a la dirección de propagación de la OEM. Su dirección es la misma que la de propagación de la onda. Dado que la frecuencia de las OEM comunes es muy alta, la variación del vector de Poynting es tan rápida que lo más apropiado es estudiar su valor medio. La magnitud S_med recibe el nombre de intensidad de la radiación en ese punto.

Intensidad de una Onda Sinusoidal en el Vacío

I = S_med = (E_maxB_max)/(2μ_o) = E_max²/(2μ_oc) = (1/2)ε_ocE_max²

Aplicaciones: Ley de Biot-Savart y Ley de Ampère

Ley de Biot-Savart

La ley de Biot-Savart se utiliza para encontrar el campo magnético (B) debido a un alambre portador de corriente (I) de cualquier forma. Dado un segmento que transporta corriente I:

• Volumen = A dl
• n = partículas por unidad de volumen con carga q

La carga total en el segmento es dQ = nqAdl. Por lo tanto:

dB = μ_o|dQ|V_dsen(φ)/(4πr²) = μ_on|q|AdlV_dsen(φ)/(4πr²)

Como I = n|q|V_dA:

dB = μ_oIdlsen(φ)/(4πr²) → dB = (μ_oIdlΛr)/(4πr²)

Ley de Ampère

La ley de Ampère nos permite obtener el campo magnético (B) generado por distribuciones de corriente con alto grado de simetría. Está formulada en términos de la integral de línea (∮Bdl). Primero consideramos un alambre recto que transporta corriente I y produce un campo magnético B = μ_oI/(2πr). Sus líneas de campo son círculos. Cuando la trayectoria de integración se realiza en el mismo sentido que B, dl es paralelo a B, por lo que B x dl = Bdl.

∮Bdl = B(∮dl) = (μ_oI/(2πr))(2πr) = μ_oI

Cuando cambia la trayectoria de integración, dl y B son antiparalelos, por lo que ∮Bdl = -μ_oI. Este resultado se puede generalizar para cualquier trayectoria de integración.

∮Bdl = ∮B_rdθ = (μ_oI/(2πr))∮dθ = μ_oI

Suponiendo que hay varios alambres que pasan a través de una superficie delimitada por una trayectoria de integración, el campo magnético total es igual a la suma vectorial de los campos generados por cada uno de los conductores. Por lo tanto:

∮Bdl = μ_oI_enc

donde I_enc es la suma algebraica de las corrientes. De esta forma, la ley está incompleta. Consideramos el proceso de carga de un capacitor. Los alambres llevan corriente conductora, I_enc, hacia una placa y fuera de la otra. Entre las placas, inventamos una corriente de desplazamiento con igual magnitud que I_c.

C = Aε_o/d = q/V → q = Aε_oV/d = Aε_oE = ε_oΦ_elect

A medida que se carga, la tasa de cambio de q es I_c = ε_odΦ_elect/dt

Ley de Ampère Generalizada

Finalmente, la ley de Ampère generalizada es:

∮Bdl = μ_o(I_c + I_d)

Tanto I_c como I_d actúan como fuente del campo magnético B.