Oligopoli: Cournot, Bertrand i Stackelberg — exemples i càlculs

Cournot

Paràmetres i funcions:

• Preu: P = 1300 - 2Q, amb Q = q₁ + q₂.
• Cost total d'una empresa: CT_i = 100 · q_i.

Benefici d'una empresa (i = 1):

π₁ = P·q₁ - 100·q₁ = (1300 - 2(q₁ + q₂))·q₁ - 100·q₁.

Primer ordre (CPO): derivant respecte q₁ i fent dπ₁/dq₁ = 0:

1300 - 4q₁ - 2q₂ - 100 = 0 ⇒ 1200 - 4q₁ - 2q₂ = 0.

Funció reacció (CSO):

4q₁ = 1200 - 2q₂ ⇒ q₁ = 300 - 0.5·q₂.

Per simetria, q₁ = q₂ = q. Substituint en la reacció:

q = 300 - 0.5·q ⇒ 1.5·q = 300 ⇒ q = 200.

Quantitats i preu:

• Quantitat per empresa: q_i = 200.
• Quantitat total: Q = 400.
• Preu de mercat: P = 1300 - 2·400 = 500.

Beneficis:

Benefici d'una empresa = (P - cost marginal)·q_i = (500 - 100)·200 = 400·200 = 80.000.

Col·lusió (cooperació)

Maximització conjunta:

Benefici conjunt: π = (1300 - 2Q)·Q - 100·Q = (1200 - 2Q)·Q.

FOC: 1200 - 4Q = 0 ⇒ Q = 300.

Distribució i resultats:

• Si es reparteix igualitàriament, q_i = Q/2 = 150.
• Preu: P = 1300 - 2·300 = 700.
• Benefici per empresa: (700 - 100)·150 = 600·150 = 90.000.

Recorda que Q s'ha de dividir entre 2 si les empreses es reparteixen la producció igualment.

Bertrand

Competència de preus amb costos constants:

Amb cost marginal constant = 100, en equilibri de Bertrand el preu tendeix al cost marginal:

Posant P = 100 i resolent la demanda: 100 = 1300 - 2Q ⇒ Q = 600.

Quantitat individual (si se'n reparteixen la demanda a parts iguals): q_i = 300. Benefici ≈ 0.

Stackelberg (líder-seguidor)

Procediment: el líder (empresa 1) anticipa la reacció del seguidor (empresa 2). Utilitzem la funció reacció del Cournot:

q₂ = 300 - 0.5·q₁.

El líder maximitza π₁ = (1300 - 2(q₁ + q₂))·q₁ - 100·q₁, substituint q₂:

q₂ = 300 - 0.5·q₁ ⇒ Q = q₁ + 300 - 0.5·q₁ = 300 + 0.5·q₁.

Preu: P = 1300 - 2Q = 1300 - 2(300 + 0.5·q₁) = 700 - q₁.

Per tant π₁ = (700 - q₁)·q₁ - 100·q₁ = (600 - q₁)·q₁ = 600·q₁ - q₁².

FOC: 600 - 2·q₁ = 0 ⇒ q₁ = 300.

Substituint en la reacció del seguidor: q₂ = 300 - 0.5·300 = 150.

Resultats Stackelberg:

• q₁ (líder) = 300.
• q₂ (seguidor) = 150.
• Q = 450, P = 1300 - 2·450 = 400.
• Benefici líder: (400 - 100)·300 = 300·300 = 90.000.
• Benefici seguidor: (400 - 100)·150 = 300·150 = 45.000.

Avaluació de la desviació respecte la col·lusió

Com comprovar si una empresa té incentius a desviar-se?

Prenem l'exemple de la col·lusió amb Q_c = 300, q_c = 150 per empresa. Si una empresa es desvía i l'altra manté q = 150:

La millor resposta és la reacció de Cournot: q_dev = 300 - 0.5·150 = 225.

Si q_dev = 225, la demanda total Q = 225 + 150 = 375 ⇒ P = 1300 - 2·375 = 550.

Benefici del desviador = (P - 100)·q_dev = (550 - 100)·225 = 450·225 = 101.250, que és superior als 90.000 de la col·lusió.

Conclusió: la desviació és profitable en aquest exemple, per tant la col·lusió no és estable sense mecanismes de sanció o repetició.

Salaris

Context i paràmetres

Probabilitats: mala sort 1/4 i bona sort 3/4. Cost per esforç addicional: 10.000. Les rendes (R) i esquemes de salari es documenten a continuació. L'agent tria a = 0 (no esforç) o a = 1 (esforç), amb cost personal 10.000 si a = 1.

a) Salari constant

w = 30.000 (independent de l'output)

Agent:

• a = 0 ⇒ salari net = 30.000 - 0 = 30.000.
• a = 1 ⇒ salari net = 30.000 - 10.000 = 20.000.

Com 30.000 > 20.000 ⇒ l'agent tria a* = 0.

Principal (benefici esperat): 0,25·50.000 + 0,75·100.000 - 30.000 = 12.500 + 75.000 - 30.000 = 57.500.

b) Sistema amb pagament segons resultat

Definició: w = 0 si R = 50.000; w = 100.000 si R = 200.000.

Agent:

• a = 0 ⇒ salari net = 0 - 0 = 0.
• a = 1 ⇒ salari net = 0,25·0 + 0,75·100.000 - 10.000 = 75.000 - 10.000 = 65.000.

Com 65.000 > 0 ⇒ l'agent tria a* = 1.

Principal (benefici esperat): 0,25·100.000 + 0,75·(200.000 - 100.000) = 25.000 + 75.000 = 100.000.

c) Sistema amb llindar

Definició: w = 0 si R < 75.000; w = R - 75.000 si R ≥ 75.000.

Per tant: w(50.000) = 0; w(100.000) = 25.000; w(200.000) = 125.000.

Agent:

• a = 0 ⇒ salari net = 0,25·0 + 0,75·25.000 - 0 = 18.750.
• a = 1 ⇒ salari net = 0,25·25.000 + 0,75·125.000 - 10.000 = (6.250 + 93.750) - 10.000 = 90.000.

Com 90.000 > 18.750 ⇒ l'agent tria a* = 1.

Principal (benefici esperat): 0,25·75.000 + 0,75·75.000 = 75.000.

Resum dels esquemes de salari (repetició i detalls)

a) salari constant
w = 30.000

a = 0: (1/4·30.000 + 3/4·30.000) − 0 = 30.000
a = 1: (1/4·30.000 + 3/4·30.000) − 10.000 = 20.000 ⇒ a = 0

b) sistema

w = { 0 si R = 50.000; 100.000 si R = 200.000 }

a = 0: (1/4·0 + 3/4·0) − 0 = 0
a = 1: (1/4·0 + 3/4·100.000) − 10.000 = 75.000 − 10.000 = 65.000 ⇒ a = 1

c) sistema

w = { 0 si R < 75.000; R − 75.000 si R ≥ 75.000 }

w(50.000)=0, w(100.000)=25.000, w(200.000)=125.000

a = 0: (1/4·0 + 3/4·25.000) − 0 = 18.750
a = 1: (1/4·25.000 + 3/4·125.000) − 10.000 = (6.250 + 93.750) − 10.000 = 90.000 ⇒ a = 1

Assegurances

Passos per calcular la prima i l'equivalent cert:

1. Fer les branques amb les probabilitats (%) i els resultats per cada branca.
2. Utilitat esperada = Σ(probabilitat · utilitat del resultat) segons la funció d'utilitat de la riquesa).
3. Equivalent cert: trobar la riquesa certa C tal que utilitat(C) = utilitat esperada (és a dir, la riquesa que dóna la mateixa utilitat que la loteria).
4. Prima màxima per evitar el risc: Riquesa inicial − Equivalent cert.
5. Prima de risc: (Primer, calcular la riquesa esperada = Σ(probabilitat · resultat de la branca)). La prima de risc = Riquesa esperada − Equivalent cert.

Nota: adaptar aquests passos a la funció d'utilitat específica (per exemple, utilitat amb aversió al risc, utilitat quadràtica, logarítmica, etc.).