Números Enteros: Operaciones, Propiedades y Conceptos Esenciales de Z

Operaciones y Propiedades Fundamentales de los Números Enteros

Reglas de los Signos para la Multiplicación

• + · + = +
• + · - = -
• - · + = -
• - · - = +

Propiedades de la Multiplicación de Números Enteros

La multiplicación de números enteros posee las siguientes propiedades:

• Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)
• Conmutativa: a · b = b · a
• Elemento Neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, a · 1 = a
• Distributiva de la multiplicación respecto de la suma: a · (b + c) = a · b + a · c

Suma de Números Enteros

Para sumar dos números enteros, se procede del siguiente modo:

• Si tienen el mismo signo: Se suman sus valores absolutos, y al resultado se le asigna el signo que tenían los sumandos.

  • 7 + 11 = 18
  • -7 - 11 = -18

• Si tienen distintos signos: Es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le asigna el signo del número con mayor valor absoluto.

  • 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
  • -7 + 5 = -(7 - 5) = -2
  • 14 + (-14) = 0

Propiedades de la Suma de Números Enteros

La suma de números enteros posee las siguientes propiedades:

• Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)
• Conmutativa: a + b = b + a
• Elemento Neutro: El cero es el elemento neutro de la suma, a + 0 = a
• Elemento Opuesto (Inverso Aditivo): Todo número entero a tiene un opuesto –a, tal que a + (-a) = 0

Definición y Conjuntos de Números Enteros

Conjunto de los Números Enteros (Z)

Los números enteros (Z) son aquellos cuya parte decimal es nula. Pueden ser positivos, negativos o el cero.

Z = { . . . , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . }

Enteros Positivos (Z⁺)

Los enteros positivos son los números naturales.

Z⁺ = N = { 1 , 2 , 3 , . . . }

Enteros Negativos (Z^–)

A partir del conjunto de los enteros positivos, se define el conjunto de los enteros negativos:

Z^– = { –n : n ∈ N }

De esta forma, el conjunto de los números enteros se puede expresar como:

Z = Z^– ∪ { 0 } ∪ Z⁺

Inverso Aditivo

Cada número entero n tiene su inverso aditivo –n.

• Ejemplos:
  • El inverso aditivo de 5 es –5.
  • El inverso aditivo de –7 es –(–7) = 7.

La suma de un número entero y su inverso aditivo es igual a cero.

• Ejemplos:
  • 5 + (–5) = 0
  • –7 + 7 = 0

Operación Resta en Z

En el conjunto de los números enteros, además de la suma y la multiplicación, se define la operación resta.

Sean a y b números enteros, entonces:

a – b = a + (–b)

• Ejemplo: 8 – 6 = 8 + (–6) = 2

Antecesor y Sucesor

Sea n un número entero, entonces su antecesor es n – 1 y su sucesor es n + 1.

Divisibilidad en Z

Sean a y b números enteros, entonces a es divisor de b si y solo si existe al menos un número entero c, tal que se satisface: a · c = b. Esto equivale a afirmar que b es múltiplo de a, o bien, b es divisible por a.

• Ejemplo: –7 es divisor de 28, porque existe un número entero, –4, tal que: –7 × (–4) = 28.

Propiedades Fundamentales de los Números Enteros con Suma y Multiplicación

El conjunto de los números enteros (Z), con las operaciones de suma y multiplicación, es un anillo conmutativo con unidad. Esto significa que, si a, b y c son números enteros, se satisfacen las siguientes propiedades:

Clasificación de Conjuntos Numéricos

Números Naturales (N)

Los Números Naturales (N) son los enteros positivos.

N = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ....}

Números Enteros (Z)

Los Números Enteros (Z) son aquellos cuya parte decimal es nula. Pueden ser positivos, negativos o el cero.

Z = {... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ...}

Como se observa, los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Números Racionales (Q)

Los Números Racionales (Q) son aquellos que se pueden expresar como una fracción (a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0).

Su expresión decimal es exacta (tiene una cantidad finita de decimales) o periódica (si tiene una o más cifras decimales que se repiten indefinidamente).