Nombres Reals: Conceptes Fonamentals, Propietats i Operacions Essencials

Nombres Reals: Conceptes Fonamentals

Els nombres reals són un conjunt fonamental en matemàtiques que inclou tant els nombres racionals com els irracionals. A continuació, explorarem les seves definicions, propietats i operacions essencials.

Nombres Racionals (Q)

Són els nombres que es poden expressar com una fracció a/b, on a i b són nombres enters i el denominador b és diferent de 0. Matemàticament, es representen com:

Q = {a/b | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}

Valor Absolut d'un Nombre Real

El valor absolut d'un nombre real a, denotat com |a|, és el mateix nombre a si és positiu o zero, i el seu oposat si és negatiu. Es defineix com:

|a| = { a si a ≥ 0; -a si a < 0 }

Entorn de Centre a i Radi r

Un entorn de centre a i radi r és l'interval obert de nombres reals compresos entre a-r i a+r, sense incloure els extrems. Es representa com (a-r, a+r).

Expressions Decimals

Els nombres racionals poden tenir expressions decimals exactes o periòdiques. A continuació, alguns exemples de conversió de decimals a fracció:

• Decimal exacte: 0.12 = 12/100 = 3/25
• Decimal periòdic pur: 1.(8) = (18-1)/9 = 17/9
• Decimal periòdic mixt: 2.3(52) = (2352-23)/990 = 2329/990

Nombres Irracionals

Són els nombres que no es poden expressar com una fracció de dos nombres enters. La seva expressió decimal és infinita i no periòdica.

Exemples:

• π ≈ 3.14159265...
• √2 ≈ 1.41421356...
• √3 ≈ 1.73205081...
• √7 ≈ 2.64575131...
• Nombres amb patrons no periòdics com 0.12345... o 0.112233...

La Recta Numèrica Real

La recta numèrica real és una representació gràfica on es fixen un origen (el zero) i una unitat de mesura per localitzar i representar tots els nombres reals.

Propietats de les Operacions amb Nombres Reals

1. Associativa:
   • Suma: (a+b)+c = a+(b+c)
   • Producte: (a×b)×c = a×(b×c)
2. Element Neutre:
   • Suma: a+0 = a (El zero és l'element neutre de la suma)
   • Producte: a×1 = a (L'u és l'element neutre del producte)
3. Element Oposat o Invers:
   • Suma: a+(-a) = 0 (L'oposat de a és -a)
   • Producte: a×(1/a) = 1 (L'invers de a és 1/a, per a ≠ 0)
4. Commutativa:
   • Suma: a+b = b+a
   • Producte: a×b = b×a
5. Distributiva:
   • Suma i Producte: a×(b+c) = a×b + a×c

Relació d'Ordre en els Nombres Reals

Per a dos nombres reals a i b (a, b ∈ ℝ), la relació d'ordre es defineix com:

• a < b si b-a > 0
• a > b si b-a < 0

Propietats de la Relació d'Ordre

• Propietat Transitiva: Si a < b i b < c, aleshores a < c.
• Monotonia Respecte a la Suma: Si a < b, aleshores a+c < b+c per a qualsevol c ∈ ℝ.
• Monotonia Respecte al Producte:
  1. Si a < b i c > 0, aleshores a×c < b×c.
  2. Si a < b i c < 0, aleshores a×c > b×c. (Atenció: la desigualtat canvia de sentit)

Intervals i Semirectes

Els intervals i les semirectes són subconjunts de la recta real. Per a a, b ∈ ℝ amb a < b:

1. Interval Obert: El conjunt de nombres reals compresos entre a i b, sense incloure els extrems.

   Notació: (a, b) = {x ∈ ℝ | a < x < b}

2. Interval Tancat: El conjunt de nombres reals compresos entre a i b, incloent-hi els extrems.

   Notació: [a, b] = {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b}

3. Intervals Semioberts:
   • Semiobert per la dreta: [a, b) = {x ∈ ℝ | a ≤ x < b}
   • Semiobert per l'esquerra: (a, b] = {x ∈ ℝ | a < x ≤ b}
4. Semirectes:
   • Semirecta oberta cap a l'esquerra: (-∞, b) = {x ∈ ℝ | x < b}
   • Semirecta tancada cap a l'esquerra: (-∞, b] = {x ∈ ℝ | x ≤ b}
   • Semirecta oberta cap a la dreta: (a, +∞) = {x ∈ ℝ | x > a}
   • Semirecta tancada cap a la dreta: [a, +∞) = {x ∈ ℝ | x ≥ a}

Notació Científica

La notació científica s'utilitza per expressar nombres molt grans o molt petits de manera concisa. Es designa de la forma a × 10^b, on:

• a és un nombre decimal (mantissa) que pertany a l'interval [1, 10).
• b és un nombre enter (ordre de magnitud).

Operacions amb Notació Científica

• Suma o Resta: Els nombres han de tenir el mateix ordre de magnitud (el mateix exponent b). Si no és així, s'ajusten abans de realitzar l'operació.
• Multiplicació o Divisió: Es multipliquen o divideixen les mantisses (a) i se sumen o resten els exponents (b) respectivament.

Aproximacions Numèriques

Les aproximacions s'utilitzen per simplificar nombres amb moltes xifres decimals.

1. Aproximació per Defecte (Truncament): Consisteix a eliminar les xifres a partir de l'ordre decimal considerat, sense modificar les xifres anteriors.
2. Aproximació per Excés (Arrodoniment a l'alça): S'eliminen les xifres a partir de l'ordre considerat, però s'augmenta en una unitat la darrera xifra que es manté si la primera xifra eliminada és 5 o superior. Si és inferior a 5, es manté la xifra.

Errors en les Aproximacions

Quan s'aproxima un nombre, es produeix un error que es pot quantificar de diverses maneres.

1. Error Absolut (Ea): És la diferència en valor absolut entre el valor real (Vr) i el valor aproximat (Va).

   Fórmula: Ea = |Vr - Va|

2. Error Relatiu (Er): És el quocient de l'error absolut i el valor real (sempre que el valor real no sigui zero).

   Fórmula: Er = Ea / |Vr|

3. Cotes d'Error: És un valor que limita la magnitud de l'error absolut o relatiu. Si K és una cota d'error, significa que l'error és menor o igual que K.

Logaritmes

Considerem dos nombres reals positius a i b, amb a ≠ 1. El logaritme en base a de b és l'exponent x al qual s'ha d'elevar la base a per obtenir el nombre b.

Notació: log_a(b) = x si i només si a^x = b.

Radicals

Un radical, o arrel enèsima d'un nombre real a, és tot nombre real b que verifica que b^n = a. Es representa com ⁿ√a.

Forma Exponencial dels Radicals

Els radicals es poden expressar en forma de potència amb exponent fraccionari. Dos radicals són equivalents si, en expressar-los de forma exponencial, es verifica la igualtat. Per exemple: ⁿ√aᵐ = a^(m/n).

Simplificació de Radicals

Consisteix a extreure de l'arrel tots els factors possibles, aplicant les propietats de les potències i les arrels.

Operacions amb Radicals

1. Reducció de Radicals a Índex Comú: Consisteix a trobar altres radicals equivalents que tinguin el mateix índex, generalment el mínim comú múltiple dels índexs originals.
2. Racionalització de Radicals: Consisteix a transformar una fracció que té radicals en el denominador en una altra fracció equivalent que no en tingui.
3. Suma i Resta de Radicals: Només es poden sumar o restar radicals que siguin idèntics, és a dir, que tinguin el mateix índex i el mateix radicand.
4. Multiplicació i Divisió de Radicals: Es poden multiplicar o dividir radicals si tenen el mateix índex. Si no, primer s'han de reduir a índex comú.
5. Potència o Arrel d'un Radical: Per realitzar aquestes operacions, es transformen els radicals en potències amb exponent fraccionari i s'apliquen les propietats de les potències.