Nombres Naturals i Operacions Bàsiques: Guia Completa

Sistemes de Numeració i Conversió de Bases

Existeixen dos tipus de numeració principals:

• Additiva: No importa l'ordre ni la posició de la lletra o símbol.
• Posicional: L'ordre i la posició importen.

Conversió de bases:

• De Base 10 a qualsevol base: Dividir pel número de la base a la qual volem passar.
• De qualsevol base a Base 10: Utilitzar potències (de petit a gran).
• De Base 6 a Base 4: Primer convertir a Base 10 i després a Base 4 (1r Potències i 2n Dividir).

Multiplicació Egípcia

Consisteix en una fila de nombres vertical, amb els seus múltiples. Per exemple: si el número que hi ha a baix és 19, la fila seria: 1, 2, 4, 8, 16 (l'últim perquè el pròxim ja supera el 19), i la fila del costat en vertical, el número de dalt, amb els seus múltiples corresponents.

Propietats de l'Addició de Nombres Naturals

• Llei de composició interna: La suma de dos nombres naturals és sempre un altre nombre natural.
• Associativa: El resultat de la suma és independent de la forma en què s'agrupin els sumands: (a + b) + c = a + (b + c).
• Commutativa: El resultat de la suma no varia si es canvia l'ordre dels sumands: a + b = b + a.
• Existència d'element neutre: Existeix un nombre natural tal que si se suma amb qualsevol altre no l'altera. Aquest és el nombre 0 (si el considerem com a natural): a + 0 = 0 + a = a.

La Resta de Nombres Naturals

En la resta a – b: a s'anomena minuend i b, subtrahend.

Aquests juguen dos papers molt diferents:

• El primer, el minuend, és “passiu” (sofreix la subtracció).
• El segon, el subtrahend, és “actiu”, és el que es resta.

La resta de nombres naturals no té cap de les propietats bàsiques enunciades per la suma:

• La resta de naturals NO és una llei de composició interna: La resta de dos nombres naturals no és sempre un altre nombre natural, pot ser negatiu.
• La resta de naturals tampoc té les propietats associativa i commutativa.

Propietats Curioses de la Resta

Però sí que en té un parell de curioses que són útils en processos de càlcul mental:

• a) Donats els naturals a, b, c, sempre que a > b + c llavors a - (b + c) = (a - b) - c. És a dir, per restar una suma a un nombre es pot restar successivament al nombre cada terme d’aquesta suma. Exemple: 38 - 17 = 38 - (8 + 9) = (38 – 8) – 9 = 30 - 9 = 21.
• b) Si sumem o restem el mateix nombre al minuend i al subtrahend obtenim una resta equivalent. Donats els naturals a, b, c, sempre que a > b  a - b = (a + c) - (b + c). Exemple: 35 - 18 = (35 + 2) – (18 + 2) = 37 – 20 = 17.

Algorisme de la Resta

En el procés de resta, quan es 'porta' una unitat, aquesta es resta del dígit superior.

Propietats de la Multiplicació de Nombres Naturals

• Llei de composició interna en N: El producte de dos nombres naturals és un altre nombre natural.
• Associativa: (a · b) · c = a · (b · c).
• Commutativa: a · b = b · a.
• Existència d’element neutre: L'1. a · 1 = 1 · a = a per a tot a que pertany a N.
• Distributiva respecte a la suma: a · (b + c) = a · b + a · c per a tot a, b, c que pertanyen a N.

Propietats de la Divisió de Nombres Naturals

Ja hem mencionat que si el residu és zero es diu que la divisió és exacta (repartir D elements en subconjunts de d elements, sense que ens sobri cap).

En aquest cas, la divisió es pot considerar com l’operació inversa de la multiplicació, això és, "calcular el nombre que multiplicat per d doni com a resultat D”.

La divisió no és una llei de composició interna en N, ja que a dos nombres naturals, el dividend i el divisor, se'ls hi fa correspondre no un sinó dos nombres naturals: el quocient i el residu.

Una Propietat Útil de la Divisió Entra

Si es multiplica el dividend i el divisor d’una divisió per un mateix nombre n, no es modifica el quocient de la divisió, però canvia el residu, que queda també multiplicat per n.

Criteris de Divisibilitat

• 2: Si el nombre és parell.
• 3: La suma dels seus dígits és divisible per 3.
• 4: Els seus dos últims dígits formen un nombre divisible per 4.
• 5: Si acaba en 0 o 5.
• 6: Si és divisible entre 2 i 3.
• 7: Divisible per 7.
• 8: Els seus tres últims dígits formen un nombre divisible per 8.
• 11: Un nombre és divisible per 11 quan la diferència entre la suma de les xifres que ocupen lloc parell i la suma de les xifres que ocupen lloc senar (o viceversa) és 0 o divisible per 11.

Tipus de Fraccions

• Una fracció s’anomena pròpia si el numerador és menor que el denominador, és a dir, la quantitat que representa és menor que la unitat.
• Una fracció s’anomena impròpia si el numerador és major que el denominador, és a dir, la quantitat que representa és major que la unitat.

Comparació de Fraccions

• Donades dues fraccions amb el mateix denominador, és menor la que té menor numerador.
• Amb el mateix numerador, és menor la que té major denominador.