Multicolinealidad y Mínimos Cuadrados Ponderados: Causas, Consecuencias y Soluciones

Multicolinealidad: Causas, Consecuencias y Soluciones

El problema de multicolinealidad consiste en la existencia de relaciones lineales entre dos o más variables independientes del modelo lineal uniecuacional múltiple. Dependiendo de cómo sea dicha relación lineal, hablaremos de multicolinealidad perfecta o aproximada.

Causas de la Multicolinealidad

Las principales causas que producen multicolinealidad en un modelo son:

• Relación causal entre las variables explicativas del modelo.
• Escasa variabilidad en las observaciones de las variables independientes.
• Reducido tamaño de la muestra.

Multicolinealidad Exacta o Perfecta

La multicolinealidad exacta o perfecta hace referencia a la existencia de una relación lineal exacta entre dos o más variables independientes. Dicho tipo de multicolinealidad se traduce en el incumplimiento de una de las hipótesis básicas del modelo uniecuacional múltiple: la matriz X no es de rango completo por columnas, esto es, rg (X) < k, y por lo tanto, la matriz X`X no tiene inversa y por lo tanto el sistema: X`X *B(estimada)= X`Y es compatible indeterminado, es decir, B(estimada) tendría infinitas soluciones. Con lo cual, no se podrán estimar los coeficientes de las variables independientes, solo se podrá estimar una combinación lineal de los mismos.

Multicolinealidad Aproximada

Cuando existe un problema de multicolinealidad aproximada, la matriz X´X sí tiene inversa, en cambio, su determinante es muy próximo a cero, por lo que la inversa tenderá a tener valores muy altos. En consecuencia, se presentarán los siguientes problemas:

• Las varianzas de los estimadores son muy grandes.
• Al efectuar los contrastes de significación individual no se rechazará la hipótesis nula, mientras que al realizar contrastes conjuntos sí.
• Los coeficientes estimados serán muy sensibles ante pequeños cambios en los datos.
• Un coeficiente de determinación elevado.

Soluciones al Problema de Multicolinealidad

Las posibles soluciones al problema son:

• Mejorar el diseño muestral extrayendo la información máxima de las variables observadas.
• Eliminación de las variables que se sospechan son causantes de multicolinealidad.
• Aumentar el tamaño de la muestra.
• Utilizar la relación extramuestral que permita realizar relaciones entre los parámetros que permita estimar el modelo por Mínimos cuadrados restringidos.

Teorema de Aitken y Mínimos Cuadrados Ponderados

En un modelo con perturbaciones no esféricas, el estimador obtenido por mínimos cuadrados ordinarios es lineal e insesgado, pero no tenemos asegurado que sea de mínima varianza. Para resolver este problema, utilizamos el Método de mínimos cuadrados ponderados que consiste en transformar un modelo con perturbaciones no esféricas en otro con perturbaciones esféricas. En dicha transformación es fundamental el Teorema de Aitken, el cual afirma que al ser omega una matriz simétrica definida positiva, entonces existe una matriz regular P, tal que Pt*P=omega^-1 de donde: P omega P^t= Inxn, y ya habríamos conseguido lo que pretendíamos.

Partimos del modelo Y=X B+U, si multiplicamos ambos miembros por la matriz P, obtenemos el modelo Y*= X*B+U*, donde Y*= PY, X*=PX, U*= PU, entonces E[U*]=E[Pu]=P E[u]=0