Movimiento Armónico Simple y Oscilaciones: definiciones, fórmulas y energía

Movimiento periódico y oscilatorio

Movimiento periódico: se repite a intervalos iguales de tiempo; todas las magnitudes del movimiento toman el mismo valor cada cierto tiempo.

Movimiento oscilatorio: movimiento periódico que tiene lugar hacia un lado y hacia otro de la posición de equilibrio del móvil. Una oscilación completa es el movimiento realizado durante un periodo: el recorrido de ida y vuelta respecto de la posición inicial.

El periodo del movimiento no depende de la amplitud de las oscilaciones (en osciladores lineales sin rozamiento). En ausencia de rozamiento, el movimiento oscilatorio se repite indefinidamente, ya que no hay pérdida de energía mecánica.

Movimiento Armónico Simple (MAS)

MAS: movimiento oscilatorio que puede expresarse mediante funciones armónicas, es decir, funciones matemáticas con una determinada periodicidad, como el seno o el coseno.

Representación canónica: x = A sen(ωt + φ₀), donde A, ω y φ₀ son constantes del movimiento.

Definiciones clave

• Elongación x: posición en cada instante de tiempo de la partícula que oscila con respecto al punto de equilibrio.
• Amplitud A: elongación máxima con respecto a la posición de equilibrio.
• Fase (ωt + φ₀): parámetro que determina el estado de vibratorio del cuerpo; depende de la posición inicial de la partícula y permite fijar el instante de tiempo t = 0.
• Pulsación o frecuencia angular ω: mayor cuanto mayor es la rapidez de vibración. Relación: ω = 2π/T.
• Periodo T: tiempo que el móvil tarda en volver a pasar por la misma posición moviéndose en el mismo sentido; es el tiempo para describir una oscilación completa.
• Frecuencia f: número de oscilaciones realizadas en un segundo. f = 1/T.

Velocidad y aceleración

Derivando la posición en el MAS, obtenemos:

• Velocidad: v = A ω cos(ωt + φ₀) = ± ω √(A² - x²).
• El valor máximo del módulo de la velocidad es v_max = ± ω A, alcanzado en la posición de equilibrio (x = 0).
• La velocidad se anula en los extremos del movimiento (x = A, x = -A); en esos puntos se invierte el sentido del movimiento, pasando la velocidad de positiva a negativa, y viceversa.
• Aceleración: a = -A ω² sen(ωt + φ₀) = -ω² x.
• La aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ella. Esta es una de las principales características de todo oscilador armónico: la aceleración está siempre dirigida hacia la posición de equilibrio.
• El valor máximo del módulo de la aceleración es a_max = ± ω² A, que se alcanza en los extremos de la trayectoria. La aceleración es nula en la posición de equilibrio.

Desfase entre magnitudes

Si se expresa la posición como x = A cos(ωt + φ'), entonces:

• v = -A ω sen(ωt + φ')
• a = -ω² A cos(ωt + φ')
• Con φ' = φ₀ - π/2.

Las magnitudes x, v y a están desfasadas: x y v por π/2, y x y a por π (180°).

Fuerza recuperadora

La fuerza recuperadora debe ser proporcional a la elongación x; su módulo debe aumentar al incrementarse la distancia entre la partícula y la posición de equilibrio. Debe tener sentido contrario al de la elongación, de manera que siempre esté dirigida hacia la posición de equilibrio. Para un resorte: F = -k x. En la ecuación del movimiento armónico lineal, F = m ω² x - k x = -m ω² A (en la forma correspondiente).

Relación constante: ω = √(k/m) para un oscilador masa-resorte.

Energía en el MAS

• Energía cinética: E_c = ½ k A² cos²(ωt + φ₀) = ½ k (A² - x²).
• Energía elástica (potencial): E_p = ½ k x² = ½ m ω² x² = ½ k A² sen²(ωt + φ₀) = ½ m ω² A² sen²(ωt + φ₀).
• Energía potencial máxima: E_p,max = ½ k A².
• Energía cinética máxima: E_c,max = ½ k A² = ½ m ω² A².
• Energía mecánica total: E = E_c + E_p = ½ k (A² - x²) + ½ k x² = ½ k A² = ½ m ω² A² (constante en ausencia de rozamiento).

Resumen de fórmulas principales

• x(t) = A sen(ωt + φ₀)
• v(t) = A ω cos(ωt + φ₀)
• a(t) = -ω² x(t)
• ω = 2π/T
• f = 1/T
• ω = √(k/m)
• E = ½ k A² = ½ m ω² A²

Péndulo simple

Péndulo simple: punto material de masa m que oscila, sin rozamiento, unido a un hilo inextensible de longitud L y de masa despreciable.

Para pequeñas oscilaciones se puede asociar una constante elástica efectiva k tal que k = mg / L si se mide el desplazamiento en arco (s). En este caso, la pulsación es:

• ω = √(g / L)
• Periodo: T = 2π / ω = 2π √(L / g)

Observaciones finales

• En osciladores lineales sin rozamiento, la energía mecánica total se conserva.
• Las relaciones anteriores son válidas para aproximaciones lineales (pequeñas oscilaciones o resortes elásticos en su rango lineal).

Notas terminológicas

En este texto se han usado las notaciones ω (omega) para pulsación, π para pi, y φ₀ para la fase inicial. Las expresiones trigonométricas aparecen en la forma sen/cos según la convención en español.