Movimiento Armónico Simple: Ejercicios Resueltos y Explicaciones

Movimiento Armónico Simple: Ejercicios Resueltos

A continuación, se presentan ejercicios resueltos sobre el movimiento armónico simple (MAS), con explicaciones detalladas para facilitar la comprensión de los conceptos clave.

Ejercicio 1

Un objeto de 100 g, unido a un muelle de k = 500 N·m^-1, realiza un movimiento armónico simple. La energía total es de 5 J. Calcula:

1. La amplitud.
2. La velocidad máxima y la frecuencia de la oscilación.
3. Indica cualitativamente en una gráfica cómo varían la energía total, cinética y potencial con la elongación x.

Solución:

a) E = E_c + E_p = ½k·A²

5 = ½ · 500 · A²

5 = 500/2 · A²

A = √(0.02) = 0,14 m

b) k = m·w² → w = √k/m → w = √500/0,1 = 70,71 rad/s

V_máx: V_máx = A·w

V_máx = 0,14 · 70,71 → V_máx = 9,9 m/s

Frecuencia de la oscilación: f = w/2π

f = 70,71 / (2 · 3,14) → f = 11,26 Hz

Ejercicio 2

Una masa de 10 g está unida a un resorte y oscila en un plano horizontal con un movimiento armónico simple. La amplitud del movimiento es A = 20 cm, y la elongación en el instante inicial es x = -20 cm. Si la energía total es 0,5 J, calcula:

1. La constante elástica del resorte.
2. La ecuación del movimiento.
3. La energía cinética en la posición x = 15 cm.

Datos: m = 0,01 kg, A = 0,2 m, x = -0,2 m, E = 0,5 J

Solución:

a) E = ½ · k · A²

0.5 = (½) · k · 0,2² → K = 25 N/m

b) x = A · sen(ω · t + φ₀) → x = 0,2sen(wt + fo) → k = m·w²

25 = 0,01w² → w = 50 rad/s

t₀ = 0 → x = -20cm = -0,2m

x = 0.2sen(50t + φ₀)

-0,2 = 0,2sen(50 · 0 + φ₀) = 0,2senφ₀

senφ₀ = -0,2/0,2 → φ₀ = arcsen(-1)

φ₀ = 3π/2 rad

x = 0,2sen(50t + 3π/2) (m)

c) E_c = ½k(A² - x²) = ½ · 25 · (0,2² - 0,15²) = 0,219 J

Ejercicio 3

Se cuelga un cuerpo de 10 kg de masa de un resorte y se alarga 2,0 cm. Después se le añaden otros 10 kg y se le da un tirón hacia abajo, de modo que el sistema comienza a oscilar con una amplitud de 3,0 cm.

1. Calcula la constante elástica del resorte y la frecuencia del movimiento.
2. Escribe, en función del tiempo, las ecuaciones de la elongación, velocidad, aceleración y fuerza.
3. Calcula la energía cinética y la energía potencial elástica a los 2 s de haber empezado a oscilar.

Solución:

a) K = 4900 N/m → A = 3cm → m = 10kg + 10kg = 20kg

f = w/2π = 15,65/2π = 4,49Hz

w = √K/m = √4900/20 = 15,65 rad/s

b) x = A·sen(wt + φ₀) → X = 0,03sen(15,65t + π/2)(m) → t₀ = 0 → x = A

A = A senφ₀ → φ₀ = arcsen1 + φ₀ = π/2

V = dx/dt = 0,03 · 15,65 · cos(15,65t + π/2) → V = 0,47cos(15,65t + π/2) m/s

a = dv/dt = -0,47 · 15,65sen(15,65t + π/2) → a = -7,35sen(15,65t + π/2) m/s²

F = -kx = -4900 · 0,03sen(15,65t + π/2) → F = -147sen(15,65t + π/2)(N)

c) E_p = ½kx² → E_c = ½mV²

x(t=2s) = 0,03sen(15,65 · 2 + π/2) = 0,0298m

V(t=2s) = 0,47cos(15,65 · 2 + π/2) = 0,054m/s

E_p = ½ · 4900 · 0,0298² = 2,18J

E_c = ½ · 20 · 0,054² = 0,029J