Movimiento Armónico Simple: Cinemática, Dinámica y Conservación de la Energía

Movimiento Armónico Simple: Cinemática y Dinámica

Definición Cinemática del M.A.S.

Un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) es un movimiento oscilatorio periódico, cuya elongación (desplazamiento) respecto a la posición de equilibrio viene dada por una función sinusoidal. Típicamente, se expresa como:

y(t) = A sin(ωt + φ) o y(t) = A cos(ωt + φ)

Donde:

• A es la amplitud del movimiento (el desplazamiento máximo desde el equilibrio).
• ω (omega) es la frecuencia angular (velocidad angular de la oscilación, en rad/s).
• φ (phi) es la fase inicial del movimiento (determina la posición en t=0).

Velocidad y Aceleración en el M.A.S.

La velocidad de la partícula en M.A.S. se obtiene derivando la posición respecto al tiempo:

v(t) = dy/dt = Aω cos(ωt + φ) (si y(t) = A sin(ωt + φ))

Y la aceleración se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo:

a(t) = dv/dt = d²y/dt² = -Aω² sin(ωt + φ)

Comparando las expresiones de posición y aceleración, comprobamos que se cumple la relación fundamental del M.A.S.:

a(t) = -ω²y(t)

Es decir, la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento y siempre apunta en sentido opuesto a este (hacia la posición de equilibrio).

Dinámica del Movimiento Armónico Simple

Dinámicamente, un sistema físico describe un M.A.S. cuando está sometido a una fuerza restauradora que es proporcional al desplazamiento respecto a una determinada posición (la posición de equilibrio) y se opone a dicho desplazamiento. La Ley de Hooke, que describe el comportamiento de los cuerpos elásticos, es un ejemplo característico de este tipo de fuerza (F = -kx).

Por ejemplo, para una partícula de masa m unida a un resorte con constante elástica k, aplicando la Segunda Ley de Newton (F = ma), obtenemos la expresión de la frecuencia angular característica de oscilación:

ω = √(k/m)

Esta expresión relaciona las propiedades intrínsecas del sistema (masa y constante elástica) con la frecuencia de su oscilación natural.

Conservación de la Energía en el M.A.S. Vertical

Transformaciones Energéticas

En una oscilación vertical, y despreciando el rozamiento, la partícula solo está sometida a dos fuerzas conservativas: el peso y la fuerza elástica. Por lo tanto, la energía mecánica total del sistema se conserva (se mantiene constante).

Las energías presentes (energía cinética, energía potencial elástica y energía potencial gravitatoria) experimentan transformaciones continuas durante una oscilación completa, manteniendo su suma constante:

Punto Más Alto de la Oscilación (Máxima Compresión)

• La energía potencial gravitatoria es máxima.
• La energía potencial elástica es máxima, ya que el muelle sufre su máxima compresión.
• La velocidad de la partícula es nula, por lo que la energía cinética también es nula.

Descenso hacia la Posición de Equilibrio

• Al descender, disminuyen las energías potencial gravitatoria y potencial elástica.
• Simultáneamente, la energía cinética aumenta.
• Al pasar por la posición de equilibrio, la energía cinética es máxima y la energía potencial elástica es nula (estiramiento o compresión cero). La energía potencial gravitatoria se encuentra en un valor intermedio (dependiendo del punto de referencia).

Descenso desde la Posición de Equilibrio hasta el Punto Más Bajo (Máximo Estiramiento)

• A partir de la posición de equilibrio, con el estiramiento del muelle, la energía potencial elástica vuelve a aumentar.
• Esto ocurre a costa de la disminución de la energía cinética, que llega a anularse en el punto de máximo estiramiento (el punto más bajo de la trayectoria).
• En este punto, la energía potencial elástica es nuevamente máxima.
• La energía potencial gravitatoria alcanza su valor mínimo.

Ascenso desde el Punto Más Bajo hasta el Punto Más Alto

• A partir de aquí, el proceso se repite a la inversa.
• Durante la subida, disminuye la energía potencial elástica almacenada, transformándose en energía cinética y energía potencial gravitatoria.
• Al pasar por la posición de equilibrio, nuevamente la energía cinética es máxima y la energía potencial elástica se anula.
• Finalmente, al seguir ascendiendo, el muelle se comprime, con lo que la energía cinética disminuye hasta anularse en el punto más alto, mientras que la energía potencial elástica vuelve a aumentar hasta su valor máximo.