Modulación digital: MPAM, M-PSK y M-FSK — Interferencia entre símbolos, filtros adaptados y eficiencia espectral

Ventajas e inconvenientes de la transmisión digital

Ventajas

• Regeneración de la señal.
• Usan tecnología sencilla y uniforme.
• Soportan una gran variedad de señales con el mismo formato.
• Factores económicos (economía de escala y aprovechamiento de la sinergia).
• Permiten el acceso múltiple por TDMA, FDMA y CDMA.

Inconvenientes

• Se requiere una perfecta sincronización de todo el sistema.
• Mayor ancho de banda que sistemas analógicos.
• Si la fuente de información es analógica, se requiere conversión A/D y D/A.

Motivaciones y uso de modulación en banda pasante

Los motivos son los mismos en analógico y digital: usamos modulaciones con señales de paso de banda para:

• Multiplexar el canal entre varios usuarios con diferentes zonas del espectro (FDM).
• Combatir ruido e interferencias.
• Adaptar la señal de información a la banda de frecuencias en la que el canal tiene mejores características.

Interferencia entre símbolos (IES)

La interferencia entre símbolos viene dada por el efecto del canal de ancho de banda limitado. Este fenómeno se manifiesta mediante el ensanchamiento y solapamiento de pulsos individuales, haciendo que el receptor pueda no distinguir entre distintos elementos. Si se quiere evitar la IES, la suma de x(t) y sus réplicas desplazadas en múltiplos enteros de la velocidad de símbolo debe ser constante para todas las frecuencias.

Diferencias entre receptores básico y óptimo

Un receptor básico sufre un filtro que deja pasar las señales pero que limita el ruido en su entrada; posteriormente se muestrea en un instante Ts y se decide. Por otra parte, un receptor óptimo con filtro adaptado consta de un filtro adaptado y un detector. El filtro adaptado maximiza la relación señal-ruido (SNR) a su salida para que el detector tenga mayor margen frente al ruido y presente menor BER. El detector toma una única muestra por símbolo a la salida del filtro adaptado, donde la SNR es máxima, y aplica un umbral a dichas muestras.

En el receptor óptimo la muestra se toma siempre al final de cada periodo; en el receptor básico puede tomarse en un instante cualquiera Ts. El filtro adaptado ideal es no causal; la implementación práctica es causal y suele requerir un retardo o procesamiento previo para aproximar su respuesta ideal.

MPAM

La señal que se transmite por el canal en una modulación M-PAM es una secuencia de pulsos básicos g(t - kT), donde A_k es el coeficiente (amplitud) del k-ésimo símbolo. A la salida del filtro receptor se tendrá una expresión equivalente a la de y_c(t), donde la señal será una secuencia de pulsos básicos x(t - kT). Las muestras a la entrada del decisor estarán formadas por la información más la interferencia de los símbolos restantes.

Esquema conceptual (bloques):

• Caja Modulador: y(t) conectado a caja Canal h_c(t).
• Medio: y(t) + ruido n(t) produce y_c(t).
• Filtro receptor h_r(t) = g(t - kT).
• Interruptor en t = kT.
• Caja Decisor (demodulador digital M-PAM).

Nota: las últimas tres cosas son el demodulador digital M-PAM. Señal ejemplo y(t): 010110.

Ventajas comparativas: M-PSK frente a M-FSK

Un sistema M-PSK tiene envolvente constante, igual que M-FSK; por lo tanto, en este aspecto son equivalentes. En términos de protección frente al ruido, M-PSK es menos robusta porque todos sus símbolos están dispuestos sobre una circunferencia en dos dimensiones. En M-FSK los puntos se reparten en M dimensiones (en el espacio de señales ortogonales), con lo que, para la misma potencia, la distancia entre ellos puede ser mayor que en M-PSK. En conclusión, M-FSK es más robusta frente al ruido que M-PSK.

Diagrama de bloques

(Diagrama de bloques conceptual ya descrito en la sección MPAM.)

Elementos M-FSK

El producto escalar entre dos señales cualesquiera es:

⟨s_m, s_n⟩ = ∫₀^T s_m(t) s_n*(t) dt = A² ∫₀^T cos(2π f_m t) cos(2π f_n t) dt

= (A² / 2) ∫₀^T [cos 2π(f_m - f_n) t + cos 2π(f_m + f_n) t] dt

= (A² / 2) ∫₀^T cos(2π (m - n) (Δf) t) dt + ...

= (A² / 2) * sin(2π (m - n) (Δf) T) / (2π (m - n) Δf)

= A² T / 2 * sinc(2 (m - n) Δf T)

Se quiere que las señales sean ortogonales; por tanto, se debe escoger:

Δf = f_m+1 - f_m = p / (2 T), con p ∈ ℕ⁺

Ancho de banda mínimo y eficiencia espectral

De esta manera, una modulación M-FSK tiene una base formada por M elementos. El ancho de banda mínimo aproximado que se estaría usando es:

B_mín = f_M - f₁ = (M - 1) Δf = (M - 1) / (2 T)

La eficiencia espectral es por tanto:

e = R (bps) / B (Hz) = (log₂ M) / T / ((M - 1) / (2 T)) = 2 log₂ M / (M - 1)

Observaciones finales

• La ortogonalidad entre tonos en M-FSK permite diseñar receptores simples que separan cada frecuencia ortogonalmente.
• En sistemas prácticos siempre hay compromiso entre eficiencia espectral, robustez frente al ruido y complejidad del receptor.
• El uso de filtros adaptados en receptores digitales reduce significativamente la BER al maximizar la SNR en el instante de muestreo.