Modelos de Valoración de Rentas y Fórmulas Clave de Amortización Financiera

1. Renta Inmediata, Constante y Temporal

Esta sección describe el cálculo del valor presente (V₀) y el valor futuro (V_n) de una renta constante de n términos, con cuota C e interés i.

Valor Presente (Postpagable o Vencida)

El valor presente se calcula como la suma de los valores actualizados de cada cuota:

V₀ = C(1+i)^-1 + C(1+i)^-2 + ... + C(1+i)^-n

Fórmula Simplificada (Notación Actuarial a_n|i):

V₀ = C · a_n|i = C · (1 - (1+i)^-n) / i

Valor Futuro (Postpagable o Vencida)

El valor futuro se calcula como la suma de los valores capitalizados de cada cuota:

V_n = C + C(1+i) + ... + C(1+i)^n-1

Fórmula Simplificada (Notación Actuarial s_n|i):

V_n = C · s_n|i = C · ((1+i)ⁿ - 1) / i

Renta Prepagable (Anticipada)

En la renta prepagable, el primer pago se realiza al inicio del periodo. El valor presente se calcula:

V₀ = C + C(1+i)^-1 + ... + C(1+i)^-(n-1)

Fórmula Simplificada (Notación Actuarial ä_n|i):

V₀ = C · ä_n|i = C · (1 - (1+i)^-n) / (i / (1+i)) = C(1+i) · a_n|i

Renta Perpetua

El valor presente de una renta constante perpetua (n tiende a infinito) se calcula:

V₀ = lim_n→∞ C · a_n|i = C · (1/i)

2. Renta Aritmética

Una renta aritmética es aquella donde las cuotas varían en progresión aritmética, con una cuota inicial C y una diferencia constante d.

A(C,d)_n|i = C(1+i)^-1 + (C+d)(1+i)^-2 + ... + (C+(n-1)d)(1+i)^-n

Derivación del Valor Presente (V₀)

1. (a) V₀ = Cv + (C+d)v² + (C+2d)v³ + ... + (C+(n-1)d)vⁿ

2. (b) V₀v = Cv² + (C+d)v³ + (C+2d)v⁴ + ... + (C+(n-1)d)vⁿ⁺¹

3. (a) - (b) V₀(1-v) = Cv + dv² + dv³ + ... + dvⁿ - (C+(n-1)d)vⁿ⁺¹

Sustituyendo v = (1+i)^-1 y 1-v = iv:

V₀iv = Cv(1-vⁿ) + d(v² + ... + vⁿ) - (C+(n-1)d)vⁿ⁺¹

V₀iv = Cv(1-vⁿ) + dv · a_n|i - dnvⁿ⁺¹

Fórmula Final del Valor Presente de la Renta Aritmética:

A(C,d)_n|i = (C + d/i) · a_n|i - (dn/i) · (1+i)^-n

Renta Aritmética Perpetua

El valor presente de una renta aritmética perpetua (n tiende a infinito) se calcula:

A(C,d)_∞|i = lim_n→∞ [(C + d/i) · a_n|i - (dn/i) · (1+i)^-n]

Dado que lim_n→∞ a_n|i = 1/i y lim_n→∞ (n / (1+i)ⁿ) = 0:

A(C,d)_∞|i = (C + d/i) · (1/i)

3. Renta Geométrica

Una renta geométrica es aquella donde las cuotas varían en progresión geométrica, con una cuota inicial C y una razón constante q.

A(C,q)_n|i = C(1+i)^-1 + Cq(1+i)^-2 + Cq²(1+i)^-3 + ... + Cq^n-1(1+i)^-n

Fórmula Simplificada del Valor Presente de la Renta Geométrica:

A(C,q)_n|i = C · (1 - (1+i)^-nqⁿ) / ((1+i) - q)

Renta Geométrica Perpetua

El valor presente de una renta geométrica perpetua (n tiende a infinito) se calcula:

A(C,q)_∞|i = lim_n→∞ [C · (1 - (1+i)^-nqⁿ) / ((1+i) - q)]

Si |q| < |1+i|, el término (q/(1+i))ⁿ tiende a cero:

A(C,q)_∞|i = C / ((1+i) - q)

4. Amortizaciones: Leyes de Recurrencia

Las leyes de recurrencia definen la relación entre los términos consecutivos de un cuadro de amortización, donde C_s es el capital pendiente en el momento s, a_s es el término amortizativo, I_s es la cuota de interés y A_s es la cuota de amortización.

Ley de Recurrencia del Capital Pendiente

El capital pendiente en el momento s se relaciona con el capital pendiente anterior (C_s-1) y el término amortizativo (a_s):

C_s = C_s-1(1+i) - a_s

Ley de Recurrencia de las Cuotas de Amortización (Sistema Francés o de Cuota Constante)

En un sistema donde el término amortizativo (a) es constante, las cuotas de amortización crecen geométricamente:

A_s+1 = A_s(1+i)

Relación entre cuotas de amortización:

• A₂ = A₁(1+i)
• A₃ = A₂(1+i) = A₁(1+i)²
• A_s = A₁(1+i)^s-1

Ley de Recurrencia de las Cuotas de Interés (Sistema Francés)

Dado que I_s = C_s-1 · i, y asumiendo un término amortizativo constante (a_s = a):

a = I_s + A_s

a = I_s+1 + A_s+1

Restando ambas ecuaciones y usando la ley de recurrencia de amortizaciones:

0 = (I_s - I_s+1) + (A_s - A_s+1)

I_s+1 = I_s - (A_s+1 - A_s) = I_s - A_s · i

Relación entre cuotas de interés:

• I₁ = C₀ · i
• I₂ = I₁ - A₁ · i
• I₃ = I₂ - A₂ · i = I₁ - A₁ · i - A₁(1+i) · i

Descomposición del Término Amortizativo

El término amortizativo (a) se descompone en la cuota de amortización (A_s) y la cuota de interés (I_s):

Partiendo de la ley de recurrencia del capital: C_s = C_s-1(1+i) - a

Despejando a: a = C_s-1(1+i) - C_s

a = C_s-1 + C_s-1 · i - C_s

Agrupando términos:

a = (C_s-1 - C_s) + C_s-1 · i

Donde: A_s = C_s-1 - C_s (Amortización de capital)

Y: I_s = C_s-1 · i (Interés sobre capital pendiente)

Por lo tanto: a = A_s + I_s

5. Cálculo de la Primera Cuota de Amortización (A₁)

Cálculo de A₁ con Término Amortizativo Conocido

Si conocemos la cuantía del término amortizativo (a):

a = I₁ + A₁

Donde I₁ = C₀ · i (Interés sobre el capital inicial C₀).

Despejando A₁: A₁ = a - C₀ · i

Relación entre Capital Inicial y Amortización

El capital inicial (C₀) es igual al valor presente de la serie de amortizaciones (A_i) capitalizadas:

C₀ = A₁ · s_n|i