Modelos probabilísticos para variables: binomial, uniforme, Poisson y normal

Variables y modelos propuestos

Variable I_n — discreta (Binomial)

La variable I_n es discreta y se refiere a una cantidad cuyo suceso se clasifica en dos estados mutuamente excluyentes: "sin fallos" y "con fallos". Dado que el número de máquinas se contabiliza por turno y cada máquina actúa de forma independiente, se puede asumir que las máquinas representan n ensayos o evaluaciones (máquinas que se evalúan), siendo p el parámetro de la probabilidad de que no haya fallos. Por tanto, dado que habría n ensayos, con sucesos dicotómicos e independientes por máquina, estas características coinciden con la distribución binomial. Los parámetros que se pueden proponer serían Bin(30; 0,7). El parámetro p se pone alto porque se asume que las máquinas tienden a no cometer fallos.

Supuestos principales

• Ensayos independientes.
• Dos posibles resultados por ensayo: éxito (sin fallo) o fracaso (con fallo).
• Probabilidad constante p de éxito en cada ensayo.

Variable L — continua (Uniforme)

La variable L es cuantitativa continua, ya que puede tomar valores decimales. El sensor registra la luminosidad únicamente durante el horario de apertura, lo que implica que, si dicho horario se mantiene constante a lo largo de la semana, la luz ambiental se medirá dentro de un intervalo estable. Además, la luminosidad de la galería de arte no debería variar significativamente, porque una iluminación excesiva podría dañar las pinturas. Esto significa que, durante el horario de apertura, la probabilidad de observar un determinado nivel de luz no cambia de forma apreciable. Por tanto, dado que el intervalo de posibles valores es acotado, resulta razonable asumir equiprobabilidad e independencia de los niveles de luminosidad dentro de ese rango. En consecuencia, el modelo que mejor se ajustaría sería la distribución uniforme continua. Si la luminosidad fluctuara entre 400 y 500 lux, la variable podría modelarse como U(a, b) — U(400, 500).

Supuestos principales

• Intervalo de valores acotado.
• Probabilidad uniforme dentro del intervalo.
• Independencia (o estabilidad) de las mediciones durante el horario de apertura.

Variable R — discreta (Poisson)

La variable R es una variable discreta basada en recuentos. Las caídas de Internet en un hogar concreto son eventos poco frecuentes, dispersos en el tiempo y, razonablemente, independientes entre sí en intervalos "cortos". Teniendo en cuenta estas características, podría ajustarse a un modelo de Poisson, ya que:

• (1) Hay una probabilidad muy pequeña de que el servicio de Internet se interrumpa varias veces dentro de un mismo intervalo de tiempo (trimestre).
• (2) Se puede asumir que la probabilidad de que caiga Internet en un trimestre es la misma para todos los subintervalos que se deseen definir.
• (3) Es posible asumir independencia entre intervalos disjuntos.

Por tanto, R ~ Poisson(λ). Un valor plausible para λ podría ser λ = 1.2, indicando que es poco probable que sucedan más de 2 interrupciones del servicio de Internet en el periodo considerado.

Variable X — continua (Normal)

La variable X es una variable continua que mide beneficios en euros. Los resultados diarios de una cartera diversificada pueden ser tanto positivos como negativos y suelen compensarse parcialmente entre sí, dando lugar a un comportamiento equilibrado alrededor de una media estable. Teniendo en cuenta estas características, podría ajustarse a un modelo normal, ya que:

• (1) La variable es continua y puede tomar infinitos valores dentro de un rango razonable.
• (2) Los valores próximos a la media son más frecuentes que los extremos, lo que sugiere simetría en torno a un punto central.
• (3) Los beneficios diarios resultan de la suma de muchas pequeñas variaciones independientes de los distintos activos que componen la cartera.

Por lo tanto, X ~ N(μ, σ²). Un valor plausible para los parámetros podría ser μ = 60 € y σ = 150 €, indicando que el beneficio medio ronda los 60 €, con oscilaciones moderadas alrededor de 150 €.

Resumen de modelos propuestos

• I_n: Bin(30; 0,7) — discreta.
• L: U(400, 500) — continua (uniforme).
• R: Poisson(λ ≈ 1.2) — discreta (recuentos).
• X: N(μ = 60 €, σ = 150 €) — continua (normal).