Modelos de Optimización y Equilibrio en Estructuras de Mercado Microeconómicas

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Competencia Perfecta en el Corto Plazo

Funciones de Ingreso y Costo

  • IT(Q) = t+eYIVqmlXahNtAFwGN+r8NaJEViAcEEHVp2zBcpZJfA1R25RZO56JL3Nk+sWUWg1WYN9wOuAMgdmNaDnYBEBBtB8JLSB6EeQVsFOlhRbrlAI57UeolXuRyAAAAAElFTkSuQmCC * Q
  • IMe = IT/Q = t+eYIVqmlXahNtAFwGN+r8NaJEViAcEEHVp2zBcpZJfA1R25RZO56JL3Nk+sWUWg1WYN9wOuAMgdmNaDnYBEBBtB8JLSB6EeQVsFOlhRbrlAI57UeolXuRyAAAAAElFTkSuQmCC
  • IMg = dIT/dQ = t+eYIVqmlXahNtAFwGN+r8NaJEViAcEEHVp2zBcpZJfA1R25RZO56JL3Nk+sWUWg1WYN9wOuAMgdmNaDnYBEBBtB8JLSB6EeQVsFOlhRbrlAI57UeolXuRyAAAAAElFTkSuQmCC
  • CT = CV(Q) + CF
  • BT(Q) = IT(Q) - CT(Q)
  • CMg = dCT/dQ

Determinación de la Cantidad Óptima a Producir (Q*)

  1. Maximizar BT = t+eYIVqmlXahNtAFwGN+r8NaJEViAcEEHVp2zBcpZJfA1R25RZO56JL3Nk+sWUWg1WYN9wOuAMgdmNaDnYBEBBtB8JLSB6EeQVsFOlhRbrlAI57UeolXuRyAAAAAElFTkSuQmCC * Q - CT (cambio de signo)
  2. Condición de Primer Orden (CPO): dBT/dQ = P - CMg = 0
  3. Aplicar la Fórmula Cuadrática (Bhaskara) para despejar Q.
  4. Condición de Segundo Orden (CSO): wFPUZ27ZQuTIsAAAAASUVORK5CYII= (Para un MÁXIMO)
  5. Reemplazar el precio en la Fórmula Cuadrática (Q*) y luego verificar la CSO.

Tabla de Resultados

P | Q1* | Q2* | Q** | BT(Q**) | Q óptimo |

Función de Oferta

  1. Determinamos el Costo Variable (CV), separando el Costo Fijo (CF).
  2. Minimizar el Costo Variable Medio (CVMe = CV/Q).
  3. Derivada: dCVMe/dQ = 0, para obtener Q*.
  4. Evaluamos el Min CVMe en Q* para obtener el Precio de Cierre (P* = CVMeMin).

gGZH0tTHwe1fAAAAABJRU5ErkJggg==

Propiedades de la Optimización

  • CPO: P = CMg(Q)
  • CSO: CMg'(Q**) > 0
  • Condición de Cierre: BT(Q**) > -CF ó P ≥ P* = CVMeMin

Competencia Perfecta en el Largo Plazo (LP)

Determinación del Número de Firmas

  1. Cálculo de la Cantidad Óptima (Q*)
    1. Minimizar el Costo Medio de Largo Plazo (CMeLP = CT/Q).
    2. Derivada: dCMe/dQ = 0.
    3. Despejar Q*.
  2. Precio Crítico (P*)

    Reemplazar Q* en la función de Min CMe.

  3. Número de Firmas (N)
    1. Evaluar la función de demanda (Qd) en P*.
    2. Cantidad de Firmas: N = Qd(P*)/Q*.

Monopolio Puro

Condiciones de Optimización

  • CPO: IMg(Q*) = CMg(Q*)
  • CSO: IMg'(Q*) < CMg'(Q*) (Para un MÁXIMO)

Ingreso Marginal y Efectos

El Ingreso Marginal (IMg) se compone del Efecto Precio (EP) y el Efecto Cantidad (EC):

IMg(Q) = dIT/dQ

dIT/dQ = P'(Q) * Q + P(Q)

(-)EP (+)EC

Determinación de la Cantidad Óptima a Producir (Q*)

  1. Maximizar BT(Q) = IT - CT.
  2. Derivada: dBT/dQ = IMg - CMg = 0.
  3. Aplicar la Fórmula Cuadrática (Bhaskara).
  4. CSO: wFPUZ27ZQuTIsAAAAASUVORK5CYII= (Para un MÁXIMO)

Precio a Fijar

Evaluar Q* en la función inversa de demanda.

Elasticidad de la Demanda

PzEAAAAASUVORK5CYII=

Discriminación de Precios

Discriminación de Primer Grado (Perfecta)

Condición: P(Q*) = CMg(Q)

  1. Hallar las funciones inversas de demanda.
  2. Maximizar BT(Q) = IT(Q) - CT(Q).
  3. IT(Q) = UT13gPwLBMWOIJoKvAAAAAElFTkSuQmCC
  4. Derivada: dBT/dQ = IMg - CMg = 0.
  5. Despejar Q*.

Discriminación de Tercer Grado

Condición: IMg1(Q1) = IMg2(Q2) = CMg(Q1 + Q2)

  1. Hallar las funciones inversas de demanda.
  2. Unificar la función de Costo Total (CT).
  3. Maximizar BT = P1(Q1) * Q1 + P2(Q2) * Q2 - CT(Q1 + Q2).
  4. Derivadas parciales:
    • dBT/dQ1 = IMg1(Q1) - CMg(Q1 + Q2) = 0
    • dBT/dQ2 = IMg2(Q2) - CMg(Q1 + Q2) = 0
  5. Resolver el sistema de ecuaciones por sustitución.

Precios a Fijar

Evaluar Q1* y Q2* en las respectivas funciones inversas de demanda.

Oligopolio

Modelo de Cártel

Condición: IMg(Q1 + Q2) = CMg1(Q1) = CMg2(Q2)

  1. Hallar la función inversa de demanda total.
  2. Maximizar BT = P(Q1 + Q2) * (Q1 + Q2) - CT1(Q1) - CT2(Q2).
  3. Derivadas parciales:
    • dBT/dQ1 = IMg(Q1 + Q2) - CMg1(Q1) = 0
    • dBT/dQ2 = IMg(Q1 + Q2) - CMg2(Q2) = 0
  4. Resolver el sistema por sustitución.

Modelo de Stackelberg (Líder y Seguidor)

Hallar la función inversa de demanda.

Empresa 2 (Seguidora)

  1. Maximizar BT2: P(cCRSsUMwbbGcQAAAAASUVORK5CYII= + Q2) * Q2 - CT2
  2. Derivada: dBT2/dQ2 = 0.
  3. Despejar Q2 (Función de Reacción de la Empresa 2).

Empresa 1 (Líder)

  1. Maximizar BT1 (reemplazando Q2 obtenido en el paso anterior).
  2. Derivada: dBT1/dQ1 = 0, para obtener Q1*.

Cantidades Finales

Q2*: Evaluar Q1* en la función de reacción de Q2.

Modelo de Cournot (Competencia en Cantidades)

Hallar la función inversa de demanda.

Empresa 1

  1. Maximizar BT1: P(Q1 + 1LdgrqVGrxatt0wqfjJuwh3bcumbPhg6x3pG8oVoyXZUalimVdzJ+QevRhbkWnNYIzTnPIILkGg1wjOM9PFSmREBhCfZbedrB734Gd+0rC3iHrwapAAAAAElFTkSuQmCC ) * Q1 - CT1
  2. Derivada: dBT1/dQ1 = 0.
  3. Despejar Q1* (Función de Reacción de la Empresa 1).

Empresa 2

  1. Maximizar BT2: P(1LdgrqVGrxatt0wqfjJuwh3bcumbPhg6x3pG8oVoyXZUalimVdzJ+QevRhbkWnNYIzTnPIILkGg1wjOM9PFSmREBhCfZbedrB734Gd+0rC3iHrwapAAAAAElFTkSuQmCC + Q2) * Q2 - CT2
  2. Derivada: dBT2/dQ2 = 0.
  3. Despejar Q2* (Función de Reacción de la Empresa 2).
  4. Aplicar la condición 0dBr9V3cnPQuamuzTiIRaXE63Hqo6yfMNjvoNfOFr4T6Nrb3e3z9nri7sVXREscFFRErgIXOg8P9hFsItgF+acGHwk+EjwkeAjrpVziBchXoR4EeJFiBeuDIR4EeKF2Vb+A97IufsuupvzAAAAAElFTkSuQmCC (Equilibrio de Nash).
  5. Resolver el sistema de ecuaciones por sustitución.

Mercado de Factores

Oferta de Insumos (Trabajo, L)

Función de Utilidad: U(X, L)

Sujeto a: Px * X = w * L + 8QP863aY8ROyXoBzj4cfhar8xIAAAAASUVORK5CYII=

  1. Despejar X = (wL + rK) / Px.
  2. Maximizar U, reemplazando X.
  3. Derivada: dU/dL = 0.
  4. Despejar L*s (Oferta de Trabajo).
  5. Sustituir L*s en la restricción presupuestaria para obtener X*d.

Demanda de Factores

Caso 1: Competencia Perfecta (Corto Plazo)

Condición: P * PMg(L) = W (Valor del Producto Marginal, VPMg)

  1. Maximizar BT(L) = a1YzhiBiVQrSaAgxIBKIsxargcZ4ICANPpg3alr0LuAAAAAElFTkSuQmCC * X - w * L.
  2. Derivada: dBT/dL = 0.
  3. Despejar L*d (Demanda de Trabajo).
  4. Sustituir L*d en la función de producción para obtener X*s.
Forma Genérica

Se utiliza P y W genéricos.

Elasticidad

gOCuVa8Hu4vuQAAAABJRU5ErkJggg== Pms9cRZfACM4lJsgOAgOvWuSdZB1kHUgQxc5CzkLOQs5CxIBchZyFqSpUGQhZyFnIWdBIqBM+wUyC9kjtEXa0wAAAABJRU5ErkJggg==

Largo Plazo

  1. Maximizar BT(L, K) = P * X - w * L + r * K.
  2. Derivadas parciales: dBT/dL = 0 y dBT/dK = 0.
  3. Resolver el sistema por sustitución.

Caso 2: Monopolio en el Mercado de Bienes

Condición: IMgF(L) = W (Ingreso Marginal del Factor)

Hallar la función inversa de demanda de bienes.

  1. Maximizar BT(L) = ITF(L) - CTF(L).
  2. BT(L) = P[X(L)] * X(L) - w * L.
  3. Derivada: dBT/dL = IMgF(L) - w = 0.
  4. Despejar L*.
  5. Evaluar la función de producción en L* para obtener X*.
  • En Competencia Perfecta: VPMg(L) = P * PMg.
  • Salario (Caso I): Evaluar VPMg en L*.

Caso 3: Monopsonio en el Mercado de Factores

Condición: VPMg(L) = CMgF(L) (Costo Marginal del Factor)

Hallar la función inversa de oferta de factores (Ws).

  1. Maximizar BT = P * X(L) - Ws(L) * L.
  2. Derivada: dBT/dL = VPMg - CMgF = 0.
  3. Despejar L*.
  • Salario (W*): Reemplazar L* en la función de oferta Ws.

Caso 4: Monopolio en Bienes y Monopsonio en Factores

Condición: IMgF(L) = CMgF(L)

Hallar las funciones inversas de oferta y demanda.

  1. Maximizar BT = P[X(L)] * X(L) - Ws(L) * L.
  2. Derivada: dBT/dL = IMgF - CMgF = 0.
  3. Despejar L*.
  4. Salario (W*): Reemplazar L* en la función de oferta Ws.
  5. X*: Reemplazar L* en la función de producción.
  • Salario (Caso II): Evaluar IMgF ó CMgF en L*.

Explotación

  • Explotación Monopolística: W(I) - W(II)
  • Explotación Monopsónica: W(II) - W(IV)

Competencia Monopolística

Corto Plazo

  • Demanda Proporcional: Dp = Dm/n (Demanda de Mercado / Número de firmas)

Cantidad Óptima (Q*e)

  1. Maximizar BT(Q) = Pe(Q) * Q - CT(Q).
  2. Derivada: dBT/dQ = 0.
  3. Despejar Q*e.

Cantidad de Equilibrio (Qe)

El equilibrio se da cuando la Cantidad Esperada es igual a la Cantidad Proporcional: Qe(Pe) = Qp(Pe).

Reemplazar P*e en la función Dp para obtener Qp.

Si no hay Equilibrio (Ajuste de la Demanda Esperada)

Desde la Demanda Esperada, hallar la inversa con ordenada A: Qde = A - 1/50P.

  1. Maximizar BT(Q).
  2. Derivada: dBT/dQ = 0.
  3. Despejar Q*e.
  4. Igualar inversas: Pp(Q*) = Pe(Q*).
  5. Despejar A.
  6. Reemplazar A en Qde y determinar la inversa ajustada.

Largo Plazo

Determinación de la Demanda Estimada Lineal

  1. Reemplazar datos en la forma P = a - b * X.
  2. Hallar la pendiente b = dCMe/dX (Q*).
  3. Reemplazar b en la función y despejar a"
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