Modelos Estocásticos de Tipos de Interés: Fundamentos de Vasicek y Hull-White

El Modelo de Vasicek

El modelo de Vasicek asume que el proceso estocástico de los tipos de interés r = {r_t: t ≤ T} está gobernado por la siguiente ecuación diferencial estocástica (EDE) que incorpora la reversión a la media (1):

dr_t = a(b - r_t)dt + σdW_t

Donde:

• W_t es un movimiento browniano (o proceso de Wiener) bajo la medida de riesgo neutral.
• a(b - r_t)dt representa el cambio esperado determinístico en el tipo de interés en un intervalo dt (factor de deriva).
• a > 0 es la velocidad de reversión hacia la media.
• b es el nivel a largo plazo de la media del tipo de interés.
• σ > 0 (sigma) es la volatilidad instantánea de la tasa de interés.

Por tanto, asume que si los tipos de interés fuesen deterministas (es decir, σ=0), estarían gobernados por la ecuación diferencial ordinaria (EDO) (2), con solución (3).

La solución de la ecuación diferencial estocástica de Vasicek para r_t es (4).

En esta solución, un componente como r₀e^-at + b(1 - e^-at) representa la parte determinista (la media esperada de r_t), y el otro, como σe^-at∫₀^te^asdW_s (o equivalentemente σ∫₀^te^-a(t-s)dW_s), es una perturbación aleatoria. Esta integral estocástica es un proceso gaussiano con media 0 y varianza (5).

Por tanto, r_t también sigue una distribución normal (es un proceso gaussiano) con media E[r_t] (6) y varianza Var(r_t) (7). Esto se conoce como el supuesto de normalidad.

Un inconveniente de este modelo es que, al seguir r_t una distribución normal, existe una probabilidad positiva de que las tasas de interés sean negativas, lo cual puede no ser realista en todos los contextos económicos.

Mecanismo de Reversión a la Media en el Modelo de Vasicek

El término "reversión a la media" se debe a que el factor de deriva a(b - r_t) tiende a empujar la tasa r_t hacia el nivel b:

• Si r_t > b, el término de deriva es negativo, empujando r_t hacia abajo, hacia b.
• Si r_t < b, el término de deriva es positivo, empujando r_t hacia arriba, hacia b.

El parámetro b es el nivel al cual la tasa tiende a revertir a largo plazo, como se observa en la esperanza de r_t cuando t → ∞ (8).

La desviación típica de las variaciones aleatorias de este proceso de reversión a la media a largo plazo (cuando t → ∞) es (9).

Esto implica que procesos con una tasa pequeña de reversión a la media (a) tendrán una volatilidad (o varianza) grande a largo plazo, y viceversa.

El Modelo de Hull-White (Modelo de Vasicek Extendido)

El modelo de Hull-White es una extensión del modelo de Vasicek y es ampliamente utilizado para la valoración de derivados de tipos de interés y bonos. Introduce una dependencia temporal en los parámetros del modelo de Vasicek, lo que le permite ajustarse perfectamente a la estructura temporal de tipos de interés (ETTI) observada en el mercado. A pesar de esta extensión, r_t sigue siendo un proceso gaussiano (normalmente distribuido), manteniendo la tratabilidad analítica.

No obstante, al igual que el modelo de Vasicek, el modelo de Hull-White permite que las tasas de interés sean negativas con una probabilidad positiva.

Se trata de un modelo de tasa corta. La ecuación diferencial estocástica (EDE) para la forma más común del modelo de Hull-White (con reversión a la media y volatilidad constantes, pero con un nivel medio dependiente del tiempo) es la siguiente (1):

dr_t = (θ(t) - a r_t)dt + σ dW_t

Donde a (velocidad de reversión) y σ (volatilidad) son constantes positivas, y θ(t) es una función determinista del tiempo elegida para que el modelo se ajuste a la curva de tipos inicial. Este modelo es una generalización del modelo de Ho-Lee (que es un caso particular del de Hull-White con a=0).

En una versión más general del modelo de Hull-White, los parámetros a y σ también pueden ser funciones del tiempo: dr_t = (θ(t) - a(t)r_t)dt + σ(t)dW_t. La función θ(t) (o la combinación de θ(t), a(t), σ(t)) se calibra utilizando la curva de rendimiento actual del mercado (ETTI) (2) para asegurar que el modelo reproduzca los precios de los bonos cupón cero observados.

Si queremos calcular el proceso estocástico de los tipos spot (r_t), recordando que tiene una parte determinista y una contribución aleatoria (Integral de Wiener) (3), a partir de lo comentado sobre los parámetros (como en (2)), obtenemos nuestro resultado (4). La solución para r_t en el modelo de Hull-White (con a y σ constantes) también se descompone en una parte determinista y una contribución aleatoria.

Para resolver la EDE del modelo de Hull-White (por ejemplo, con a constante), se puede multiplicar por el factor integrante e^at, de forma que se facilita la integración para obtener la solución (5).