Modelos de Crecimiento Económico: Solow, AK, Sobelow, Romer, Lucas, Barro y Trampas de Pobreza

Modelo de Solow

El modelo de Solow describe el crecimiento económico a largo plazo basado en la acumulación de capital, el crecimiento de la población y el progreso tecnológico.

Ecuaciones clave:

• Variación del capital per cápita (kt): kt = s · Akt^α - (n + δ)kt
• Capital per cápita en estado estacionario (kt €€): kt €€ = [s · A / (n + δ)] ^ (1/(1-α))
• Producción per cápita en estado estacionario (yt €€): yt €€ = A · [s · A / (n + δ)] ^ (α/(1-α))
• Ahorro per cápita en estado estacionario (st €€): st €€ = s · A · [s · A / (n + δ)] ^ (α/(1-α))
• Consumo per cápita en estado estacionario (ct €€): ct €€ = (1-s) · A · [s · A / (n + δ)] ^ (α/(1-α)) // valores agregados multiplicados por Lt
• Tasa de crecimiento del capital per cápita: s · Akt^(α-1) - (n + δ)

Convergencia absoluta / σ-convergencia: Los países con diferentes niveles iniciales de capital per cápita tienden a converger a un mismo nivel de kt en el estado estacionario.

Convergencia condicional / β-convergencia: Se refiere al ritmo al que los países se acercan a su propio estado estacionario. Los países con un menor nivel de kt inicial tienen tasas de crecimiento de kt superiores. La velocidad de convergencia se define como: β = (1-α) · (δ + n), que representa el ritmo al que se alcanza el estado estacionario.

Regla de oro: Es el nivel de kt en estado estacionario que maximiza el consumo per cápita. Representa el estado ideal de la economía, donde la población obtiene el mayor beneficio.

kt oro = [α · A / (n + δ)] ^ (1/(1-α))

Casos:

1. Situación ideal: kt €€ = kt oro (α = s)
2. Eficiencia dinámica: kt €€ < kt oro (α > s) (+). Un aumento en la tasa de ahorro (Δs) lleva a una disminución del consumo a corto plazo (↓ct), pero a un aumento del consumo a largo plazo (Δct).
3. Ineficiencia dinámica: kt €€ > kt oro (α < s) (-). Una disminución en la tasa de ahorro (↓s) lleva a un gran aumento del consumo a corto plazo (ΔΔΔct) y a un aumento del consumo a largo plazo (Δct).

Modelo de Solow con Progreso Tecnológico

Introduce el parámetro tecnológico endógeno (g).

• Variación del capital por unidad de trabajo efectivo (ute kt): ute kt = s · Akt^α - (n + δ + g)kt
• Capital por unidad de trabajo efectivo en estado estacionario (ute kt €€): ute kt €€ = [s / (n + δ + g)] ^ (1/(1-α))
• Tasa de crecimiento del capital por unidad de trabajo efectivo: s · kt^(α-1) - (n + δ + g)

Para comparar modelos, se utiliza la misma unidad de medida: unidades per cápita (upc).

Si obtenemos la tasa de crecimiento en estado estacionario en upc: kt = g

En un estado estacionario en ute, la tasa de crecimiento de kt es positiva y constante. El crecimiento es posible, no hay convergencia, y los países con mayor tecnología crecen más.

Modelo AK

Considera el trabajo como una forma alternativa de capital.

• Variación del capital per cápita (kt): kt = s · Akt - (n + δ)kt
• Tasa de crecimiento del capital per cápita: kt = s · A - (n + δ)

El crecimiento económico depende de la comparación entre la curva de ahorro (CA) y la curva de depreciación (CD), que son rectas.

Cuando CA > CD, se explica el crecimiento económico (no hay estado estacionario, no hay convergencia, no hay regla de oro).

Modelo Sobelow

Analiza qué características matemáticas impiden a Solow explicar el crecimiento endógeno.

Si mediante este modelo se encuentra un contexto donde el crecimiento sea posible, habrán sido las condiciones de Inada las que impiden a Solow explicar el crecimiento económico endógeno a largo plazo.

• Variación del capital per cápita (kt): kt = s · (Akt + Bkt^α) - (n + δ)kt
• Tasa de crecimiento del capital per cápita: kt = s · (A + Bkt^(α-1)) - (n + δ)

La curva de ahorro (CA) es siempre decreciente. Sin embargo, para que acabe por encima de la curva de depreciación (CD), depende del parámetro constante asociado a la función de Rebelo.

Si sA > n + δ (en el límite CA > CD), se explica el crecimiento económico a largo plazo, ya que siempre se incurre en tasas de crecimiento positivas.

Las condiciones de Inada son las que impiden a Solow explicar el crecimiento.

Modelos de Romer y Lucas

La inversión en capital genera una externalidad positiva que debe estar recogida en la función de producción: K^η

Modelo de Romer

Externalidad = Kt

Función de producción per cápita: yt = AKt^(α+η) · Lt^η

Según este resultado, cuanto más grande es la población, mayor es su kt (la evidencia empírica demuestra que es falso).

Ecuación dinámica: kt = s · (Akt^(α+η) · Lt^η) - (n + δ)kt

Tasas de crecimiento: kt = s · (Akt^(α+η-1) · Lt^η/kt) - (n + δ). Según Romer, la tasa depende positivamente de la población (falso).

Las posibilidades de crecimiento según Romer pasan por la curvatura de la curva de ahorro, que depende de α+η-1.

• Si α+η < 1: CA decreciente (estado estacionario como en Solow)
• Si α+η = 1: CA constante, crecimiento siempre que sA > n + δ
• Si α+η > 1: CA creciente, estado estacionario inestable (teórico, pero sin evidencia empírica)

Modelo de Lucas

Externalidad = kt; resuelve el problema del efecto de escala.

Función de producción per cápita: yt = AKt^(α+η) (elimina el problema de escala)

Ecuación dinámica: kt = s · Akt^(α+η) - (n + δ)kt

Tasas de crecimiento: kt = s · Akt^(α+η-1) - (n + δ)

Se llega a la misma situación que en Romer, pero con una perspectiva más realista.

Modelo de Barro

Analiza el papel del sector público en la economía como dinamizador de la producción nacional.

Considera una función de producción neoclásica con participación del gasto público (GP) asociado al capital (K) y al trabajo (L).

Yt = AKt^α · Gt^(1-α)

A considerar: el GP se financia con impuestos (T), los cuales son proporcionales a la renta: λ · Yt

Por tanto, la renta disponible es: Yd = (1 - λ)Yt

El GP tiene un doble efecto:

• Positivo: Sobre la producción nacional como dinamizador de la economía.
• Negativo: Reduce la renta disponible de las familias.

Ecuación dinámica: kt = s(1- λ) · Akt^α · gt^(1-α) - (n + δ)kt

Tasas de crecimiento: kt = s(1- λ) · λ^((1-α)/α) · A^(1/α) - (n + δ)

Dado que la tasa de crecimiento depende de λ, podemos plantear para qué valor de λ se maximiza la tasa de crecimiento.

En los extremos del valor λ, CA = 0 y la tasa de crecimiento = -(n + δ)

Derivamos la tasa respecto a λ para obtener el máximo: λ = 1- α. El tipo impositivo óptimo que maximiza la tasa de crecimiento y puede permitir explicar el crecimiento endógeno a largo plazo es aquel que coincide con la participación del GP en la renta agregada.

Trampas de la Pobreza

Describe la situación de países con un nivel bajo de kt que, a pesar de realizar esfuerzos para salir de esa situación, son incapaces. Se consideran las diferentes fases por las que pasa una economía:

1. Economía rural: Uso intensivo del factor trabajo con poco capital, incurriendo en rendimientos decrecientes de los factores.
2. Economía industrial: Crecimiento muy importante del factor Kt. Los factores incurren en rendimientos crecientes.
3. Economía madura: La aportación al crecimiento económico del factor capital y trabajo vuelve a ser limitada, con rendimientos decrecientes de los factores.

La trampa se materializa cuando, partiendo de k1, la economía es incapaz de realizar una inversión que le permita ubicarse a la derecha de k2. Cualquier esfuerzo inversor que no supere el nivel de k2 será improductivo, condenándolos a la pobreza.

Para salir de la trampa de la pobreza:

• Recursos propios: Aumento del ahorro (Δs), mejora tecnológica (ΔA), disminución de la tasa de crecimiento de la población (↓n), disminución de la tasa de depreciación (↓δ).
• Recursos externos: "Big Push" -> atraer inversión extranjera para aumentar mucho la curva de ahorro ("política exterior").

Función de Producción CES

(Elasticidad Constante de Sustitución) Es una función general que puede reportar el mismo resultado que una función de producción Leontief, lineal o Cobb-Douglas, según el valor adoptado por el exponente.

Yt = A · [αKt^Ψ + (1 - α)Lt^Ψ]^(1/Ψ) Ψ ∈(-∞,1)

Elasticidad de sustitución = 1/(1-Ψ)

• Si Ψ = -∞, Elasticidad = 0 // Leontief (Harrod-Domar)
• Si Ψ = 1, Elasticidad = ∞ // Lineal (AK)
• Si Ψ = 0, Elasticidad = 1 // Cobb-Douglas

kt = s · A(α kt^Ψ + (1 - α))^(1/Ψ) - (n + δ)kt

Tasas de crecimiento: kt = s · A[α + (1 - α) · kt^(-Ψ)]^(1/Ψ) - (n + δ)

Para poder evaluar el crecimiento económico, analizamos los límites de la curva de ahorro (CA).

• Si Ψ > 0 (Elasticidad > 1): CA decreciente, pero tiende a sAα^(1/Ψ), que suponemos mayor que n + δ. Crecimiento endógeno a largo plazo posible.
• Si Ψ < 0 (Elasticidad < 1): CA decreciente, naciendo en valor sAα^(1/Ψ) y tiende a 0. Por lo que corta en algún punto con la curva de depreciación (CD). Obtenemos un equivalente a Solow, no es posible el crecimiento económico a largo plazo.