Modelo de Crecimiento de Solow: Dinámica de Acumulación y Estado Estacionario

Desarrollo del Modelo de Crecimiento de Solow

1.1 Función de Producción y Unidades Efectivas de Trabajo

Sea la función de producción y = k^α. Para expresar la función de producción en unidades efectivas de trabajo, definimos y = Y / (A·L) y k = K / (A·L). Partiendo de la función original Y = (AL) · (K/AL)^α · (AL/AL)^1-α, obtenemos que y = k^α.

Esta función conserva las mismas propiedades que la producción total porque sigue en estado estacionario en función de k (que es K/AL) y, por ende, está también en función de las unidades efectivas de trabajo. Considerando que A_t = A₀ · e^gt, al aplicar logaritmos tenemos ln(A) = ln(A₀) + g · t. La tasa de crecimiento del progreso tecnológico es (dA/dt) / A = g. De igual forma, para la población L_t = L₀ · e^nt, se cumple que (dL/dt) / L = n.

1.2 Formación de Capital e Inversión

En este modelo, Y = S = I. La Formación Neta de Capital Fijo (FNCF) es la formación bruta de capital menos los inventarios y la depreciación. Se asocia a la función anterior porque la variación del capital (k̇ o FNCF) es igual a sY (Formación Bruta de Capital Fijo) menos δK (depreciación). Es fundamental para el crecimiento económico porque indica la inversión o aumento del acervo de capital que se añade al sistema, generando expansión productiva.

1.3 Derivación de la Ecuación Fundamental

Partiendo de k = K / (A·L), aplicamos logaritmos: ln(k) = ln(K) - ln(A) - ln(L). Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la tasa de variación: k̇/k = K̇/K - Ȧ/A - L̇/L. Sustituyendo los valores conocidos:

• K̇/K = (sY - δK) / K
• Ȧ/A = g
• L̇/L = n

Al simplificar, llegamos a la ecuación fundamental: k̇ = sy - (g + δ n)k.

1.4 Diagrama de Solow y Estado Estacionario

En el diagrama de Solow, el estado estacionario se alcanza cuando k̇ = 0. Esto ocurre porque la acumulación de capital por unidad efectiva de trabajo es constante en el tiempo. En este punto, tanto la acumulación de capital como la producción crecerán a una tasa de crecimiento constante igual a la suma de la tasa poblacional y el progreso tecnológico.

1.5 Stock de Capital de la Regla de Oro

La Regla de Oro busca maximizar el consumo. Siendo el consumo c = (1 - s)y, podemos expresarlo como c = k^α - k(g + n + δ). Para hallar el máximo, derivamos respecto a k e igualamos a cero: dc/dk = αk^α-1 - (g + n + δ) = 0.

El capital de la regla de oro es k*_gold = (α / (g + n + δ))^1/(1-α). Se dice que la recta k(g + δ + n) tiene la misma pendiente que la curva de producción y = k* en ese punto. Allí, la propensión marginal a ahorrar es s_gold, y la curva de ahorro corta a la recta de mantenimiento de capital donde k̇ = 0.

1.6 Variaciones en la Tasa de Ahorro

Si la tasa de ahorro (s) es menor que la tasa de ahorro de la regla de oro (s_gold), el punto donde k̇ = 0 tendrá un menor nivel de consumo y un menor capital de estado estacionario (k*). En el largo plazo, se prevé una convergencia hacia la derecha si se incrementa el ahorro hasta alcanzar la curva s_gold. Este aumento de la tasa de ahorro podría traer una disminución temporal de la tasa de crecimiento en el corto plazo antes de estabilizarse.

1.7 Limitaciones del Modelo de Solow

Las principales limitaciones de Solow incluyen:

• El progreso tecnológico es tratado como una variable exógena y constante, aunque actualmente se considera exponencial.
• Supone productividad marginal decreciente del capital (fk) y del trabajo (fl), lo que teóricamente impone una asíntota al crecimiento.
• Bajo la condición de Inada, el límite de la productividad marginal del capital es cero (lim Fk = 0), lo cual contradice las nuevas teorías de crecimiento endógeno.
• La tasa de ahorro también se considera una variable exógena al modelo.