Modelado y Solución de Problemas de Vibraciones Mecánicas

Introducción a la Dinámica de Sistemas Mecánicos

Este documento presenta la resolución de varios problemas relacionados con la dinámica de sistemas mecánicos, utilizando el formalismo de Lagrange para derivar las ecuaciones de movimiento y determinar características vibratorias como frecuencias naturales y coeficientes de amortiguamiento. Se abordan diferentes configuraciones de sistemas, incluyendo barras, ruedas y combinaciones de masa-resorte-amortiguador.

1. Sistema de Barra con Múltiples Restricciones

Se considera un sistema de barra con restricciones en sus extremos, donde se busca obtener la ecuación de movimiento utilizando el desplazamiento vertical u(t) del punto G como coordenada generalizada, bajo la hipótesis de pequeños desplazamientos.

Datos del Sistema:

• L = 1 m
• k = 1500 N/m
• c = 3 Ns/m
• m = 10 kg
• I_G = (1/12)mL (Nota: La unidad de I_G debería ser kg·m², lo que implicaría (1/12)mL². Se mantiene la expresión original según el enunciado.)

Relaciones Cinemáticas:

• u_A = 2u
• u_B = (1/3)u_A = (2/3)u
• θ = 2u/L

a) Derivación de la Ecuación de Movimiento

Energía Cinética (T):

T = (1/2)mv_G² + (1/2)I_Gω²

Sustituyendo las relaciones cinemáticas (v_G = u̇, ω = θ̇ = 2u̇/L):

T = (1/2)mu̇² + (1/2)I_G(2u̇/L)² = (1/2)mu̇² + (1/2)I_G(4u̇²/L²)

T = (1/2)(m + 4I_G/L²)u̇²

Energía Potencial (V):

V = (1/2)·2ku_B²

Sustituyendo u_B = (2/3)u:

V = (1/2)·2K·((2/3)u)² = (1/2)·2K·(4/9)u²

V = (1/2)(8/9)Ku²

Función de Disipación de Rayleigh (R):

R = (1/2)cu̇_A²

Sustituyendo u̇_A = 2u̇:

R = (1/2)c(2u̇)² = (1/2)c(4u̇²)

R = (1/2)4cu̇²

Aplicación de las Ecuaciones de Lagrange:

La ecuación de Lagrange para un sistema con disipación es: d/dt (∂T/∂u̇) - ∂T/∂u + ∂V/∂u + ∂R/∂u̇ = Q

• d/dt (∂T/∂u̇) = d/dt [(m + 4I_G/L²)u̇] = (m + 4I_G/L²)ü
• ∂T/∂u = 0
• ∂V/∂u = (8/9)Ku
• ∂R/∂u̇ = 4cu̇

Parámetros Equivalentes:

• m_eq = (m + 4I_G/L²) = (4m/3) Ns²/m
• c_eq = 4c Ns/m
• k_eq = (8k/9) N/m

Fuerza Generalizada (Q):

Qu̇ = f(t)u̇_A + M(t)·θ̇ = f(t)2u̇ + M(t)·(2u̇/L)

Q = 2f(t) + (2/L)M(t) N

Ecuación de Movimiento:

(m + 4I_G/L²)ü + 4cu̇ + (8/9)Ku = 2f(t) + (2/L)M(t)

b) Frecuencia Natural y Amortiguada

• Frecuencia Natural (ω_n):
  ω_n = √(k_eq/m_eq) = √((8k/9) / (4m/3))
• Coeficiente de Amortiguamiento (ζ):
  ζ = c_eq/c_c = 4c / (2m_eqω_n)
• Frecuencia Amortiguada (ω_d):
  ω_d = ω_n√(1 - ζ²)

Dado que ζ < 1, el sistema es subamortiguado.

2. Sistema con Geometría en T Invertida

Se plantea la ecuación de movimiento para un sistema con una configuración en forma de 'T' invertida.

Aplicación de las Ecuaciones de Lagrange:

d/dt (∂T/∂θ̇) - ∂T/∂θ + ∂V/∂θ + ∂R/∂θ̇ = Q_θ

Energía Cinética (T):

T = (1/2)m·0 + (1/2)I_Gθ̇² = (1/2)I_Gθ̇² (El primer término es cero debido a la barra fija).

Energía Potencial (V):

V = (1/2)(3K)u_A² + (1/2)Ku_B²

Donde u_A = -(L/4)θ y u_B = (3L/4)θ.

V = (1/2)(3K)(-L/4·θ)² + (1/2)K(3L/4·θ)²

V = (1/2)(3K L²/16)θ² + (1/2)(9K L²/16)θ²

V = (1/2)(12K L²/16)θ²

V = (1/2)(3K L²/4)θ²

Función de Disipación de Rayleigh (R):

R = (1/2)c(3L/4 · θ̇)²

R = (1/2)(9cL²/16)θ̇²

Ecuación de Movimiento:

Derivando y aplicando Lagrange:

I_Gθ̈ + (9cL²/16)θ̇ + (3KL²/4)θ = Q_θ

3. Sistema de Péndulo Invertido con Resortes

Se busca obtener la ecuación de movimiento para un sistema de péndulo invertido con resortes.

a) Obtención de la Ecuación de Movimiento

Coordenadas:

• y_C = (L/2)sin(θ)
• y_B = -(L/2)sin(θ)
• x_A = -Lsin(θ)

Para pequeños desplazamientos, sin(θ) &approx; θ.

Energía Cinética (T):

T = (1/2)I_Gθ̇²

Energía Potencial (V):

V = (1/2)ky_B² + (1/2)ky_C²

V = (1/2)k(-(L/2)θ)² + (1/2)k((L/2)θ)²

V = (1/2)(kL²/4 + kL²/4)θ²

V = (1/2)(kL²/2)θ²

Función de Disipación de Rayleigh (R):

R = (1/2)cθ̇²

Fuerza Generalizada (Q_θ):

Q_θ = -Lfa

Ecuación de Movimiento:

Aplicando Lagrange:

I_Gθ̈ + (cL²)θ̇ + (kL²/2)θ = -Lfa

b) Frecuencia Natural y Coeficiente de Amortiguamiento

• Frecuencia Natural (ω_n):
  ω_n = √(k_eq/m_eq) = √((kL²/2)/I_G) = 55.621 rad/s
• Coeficiente de Amortiguamiento (c):
  c = 2·ζI_Gω_n/L² = 395.531 Ns/m

Si la tasa de amortiguamiento (ζ) fuera del 80% (0.8), el valor de c sería diferente.

4. Sistema de Masa-Resorte con Rueda y Restricciones

Este problema aborda la determinación de la matriz de rigidez, frecuencias naturales y modos de vibración para un sistema complejo que incluye una rueda.

Datos del Sistema:

• r₁ = 0.2 m
• m₁ = 2 kg
• m₂ = 5 kg
• I_G1 = (1/2)m₁r₁²
• k_b = 2·10³ N/m
• k_a = 0.1·k_b

a) Matriz de Rigidez [K]

Energía Potencial (V):

V = (1/2)k_b(y - y_a)² + (1/2)k_ay_a²

Donde y_a = r₁sin(θ) &approx; r₁θ (para pequeños desplazamientos).

V = (1/2)k_b(y² - 2r₁θy + r₁²θ²) + (1/2)k_ar₁²θ²

Derivadas Parciales para la Matriz de Rigidez:

• ∂V/∂y = k_by - k_br₁θ
• ∂V/∂θ = -k_br₁y + (k_a + k_b)r₁²θ

La matriz de rigidez [K] es:

[K] = [[k_b, -k_br₁], [-k_br₁, (k_a + k_b)r₁²]]

(Nota: Los elementos de la matriz proporcionados en el documento original (1: (ka+kb)r1², 2: -r1, 3: -r1, 4: kb) no corresponden directamente con las derivadas parciales de la energía potencial. Se ha corregido la matriz basándose en la derivación estándar.)

b) Frecuencia Natural

Considerando un sistema no amortiguado, se necesita la matriz de masa [M]. La energía cinética es:

T = (1/2)m_ay_a² + (1/2)I_G1θ̇²

La ecuación característica para las frecuencias naturales es det([K] - λ[M]) = 0, donde λ = ω².

Los valores propios obtenidos son λ₁ = 5.581 y λ₂ = 50.684.

Por lo tanto, las frecuencias naturales al cuadrado son:

• ω_n1² = 5.581 rad²/s²
• ω_n2² = 50.684 rad²/s²

El documento original menciona w2n = 50.68, lo que se interpreta como ω_n2².

c) Modos de Vibración

Para obtener los modos de vibración, se resuelve la ecuación ([K] - ω_n²[M]){φ} = {0}.

Para ω_n2² = 50.68 rad²/s², el vector modal es aproximadamente:

{φ₂} = [4.21, -0.037]^T

d) Análisis de Señal

Para una señal con frecuencia de 5 Hz, muestreo de 500 Hz y 512 puntos:

• Periodo de la señal (T): T = 1/f = 1/5 Hz = 0.2 s
• Duración total de la muestra (T_s): T_s = N/f_s = 512 puntos / 500 Hz = 1.024 s
• Número de ciclos en la muestra: T_s/T = 1.024 s / 0.2 s = 5.12 ciclos

5. Sistema de Dos Ruedas con Restricciones y Resistencia

Este problema se centra en un sistema de dos ruedas, derivando sus ecuaciones de movimiento y calculando sus frecuencias naturales.

a) Sistema de Ecuaciones Diferenciales

Relaciones Cinemáticas:

• u_A = -Rθ₁ + Rsin(-θ₁) = -2Rθ₁
• u_B = -Rθ₂ + Rsin(-θ₂) = -2Rθ₂

Energía Cinética (T):

T = (1/2)m₁v_G1² + (1/2)I_G1ω₁² + (1/2)m₂v_G2² + (1/2)I_G2ω₂²

Asumiendo m₁=m₂=m y I_G1=I_G2=I_G, y que v_G = Rθ̇:

T = (1/2)(mR² + I_G)θ̇₁² + (1/2)(2mR² + 2I_G)θ̇₂²

Energía Potencial Elástica (V):

V = (1/2)k(u_B - u_A)²

V = (1/2)k(-2Rθ₂ - (-2Rθ₁))²

V = (1/2)k(2R(θ₁ - θ₂))²

V = (1/2)4R²k(θ₁ - θ₂)²

Derivadas de Lagrange:

• d/dt (∂T/∂θ̇₁) = (mR² + I_G)θ̈₁
• d/dt (∂T/∂θ̇₂) = 2(mR² + I_G)θ̈₂
• ∂V/∂θ₁ = 4R²k(θ₁ - θ₂)
• ∂V/∂θ₂ = -4R²k(θ₁ - θ₂)

Matriz de Ecuaciones de Movimiento:

La ecuación matricial de movimiento es: [M]θ̈ + [K]θ = {0}

Donde la matriz de masa [M] es:

[M] = [[(mR² + I_G), 0], [0, 2(mR² + I_G)]]

Y la matriz de rigidez [K] es:

[K] = [[4R²k, -4R²k], [-4R²k, 4R²k]]

b) Frecuencias Naturales y Modos de Vibración

Si R=0.2m, k=1500N/m, m=5kg, I_G=2.5kg·m²:

La ecuación característica es det([K] - λ[M]) = 0, donde λ = ω².

Sustituyendo los valores, se obtiene la ecuación:

14.58λ⁴ + 1944λ² = 0

Las raíces de esta ecuación son:

• λ₁ = 0
• λ₂ = -133.33

Interpretando λ = - ω² (o tomando el valor absoluto para ω² si λ = ω² y el signo negativo es un error en el cálculo original), las frecuencias naturales son:

• ω_n1 = 0 rad/s (Modo de cuerpo rígido o traslación sin restricción elástica)
• ω_n2 = √(|-133.33|) = 11.547 rad/s