Modelado de Sistemas de Control: Funciones de Transferencia y Diagramas de Bloques

Diagramas de Bloques y Modelado de Sistemas

Los diagramas de bloques son una representación de la composición e interconexión de un sistema.

Función de Transferencia

El primer paso para el diseño de un sistema de control es el modelado matemático de los procesos controlados. La forma clásica de modelar un sistema es utilizar su función de transferencia para representar la relación de entrada-salida. Una forma de determinar la función de transferencia es utilizar la respuesta al impulso.

Respuesta al Impulso

La respuesta al impulso es la señal que obtenemos a la salida cuando a la entrada tenemos una función impulso unitario. La función de transferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI) se define como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso, considerando todas las condiciones iniciales iguales a cero (0).

Si G(s) denota la función de transferencia de un sistema, con una entrada U(s), una salida Y(s) y una respuesta al impulso G(t), la función de transferencia se puede representar como:

Clasificación de las Funciones de Transferencia

• Función de transferencia propia: Se denomina así si el grado del polinomio del denominador es mayor que el grado del polinomio del numerador (n > m).
• Función de transferencia impropia: Se denomina así si el grado del polinomio del numerador es mayor que el grado del polinomio del denominador (m > n).

Ecuación Característica

Para obtener la ecuación característica de una función de transferencia, hay que igualar el polinomio del denominador a cero:

Sⁿ + a_n-1 * S^n-1 … + a₁ * S + a₀ = 0

Propiedades de la Función de Transferencia

1. Está definida únicamente para sistemas lineales e invariantes en el tiempo.
2. La función de transferencia entre una variable de entrada y una variable de salida está definida como la transformada de Laplace de la respuesta al impulso con todas las condiciones iniciales iguales a cero (0).
3. Todas las condiciones iniciales son iguales a cero (0).
4. La función de transferencia es independiente de la entrada.
5. La función de transferencia de un sistema en tiempo continuo es únicamente función de la variable compleja s (frecuencia compleja), derivada de la transformada de Laplace de la respuesta en el tiempo.
6. La función de transferencia en tiempo discreto es únicamente función de la variable Z, cuando aplicamos la transformada Z.

Funciones de Transferencia de Sistemas Multivariables

Para determinar la función de transferencia de sistemas multivariables, se aplica el teorema de superposición. En este proceso, se determina la función de transferencia para cada entrada individual, haciendo las demás iguales a cero (0) y sumando las funciones de transferencia obtenidas en cada caso.