Modelado de Rendimiento: Sistemas de Colas y Distribuciones Probabilísticas Esenciales

Introducción a los Sistemas de Colas (Líneas de Espera)

Un sistema de colas, o línea de espera, se forma cuando la demanda de un servicio excede temporalmente la capacidad de un sistema para proporcionarlo. Este tipo de sistema se compone de un conjunto de entidades paralelas que ofrecen un servicio a las transacciones que ingresan aleatoriamente.

Dependiendo del contexto, las entidades de servicio pueden ser cajeros, máquinas, semáforos, grúas, entre otros, mientras que las transacciones pueden ser clientes, piezas, vehículos, barcos, etc.

Costos Asociados a las Líneas de Espera

En los sistemas de colas, se identifican principalmente dos tipos de costos:

• Costo de las transacciones: Representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo de las transacciones al esperar un servicio, o la pérdida de clientes debido al abandono del sistema por tiempos de espera excesivos.
• Costo del servicio: Asociado a la provisión del servicio (ej., salarios de personal, mantenimiento de equipos).

El objetivo fundamental en el estudio de las líneas de espera es determinar el nivel óptimo de servicio (ya sea por la cantidad de entidades de servicio o por su velocidad) que permita minimizar el costo total del sistema, el cual incluye tanto el costo del servicio como el costo generado por la espera.

Componentes y Estructura de un Sistema de Colas

Un sistema de espera se modela mediante la llegada de transacciones que buscan recibir un servicio de una o más entidades, conocidas como servidores.

Elementos Clave de un Sistema de Colas

Servidores

Representan el mecanismo o las entidades que proporcionan el servicio deseado a las transacciones. Pueden ser personas, máquinas o cualquier recurso que atienda la demanda.

Transacciones Potenciales (Población de Clientes)

Se refiere al número total de clientes o elementos que podrían requerir el servicio. Para este conjunto, son cruciales dos características:

• El tamaño de la población potencial de clientes (finita o infinita).
• La distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones al sistema.

Fila (Cola de Espera)

Es el conjunto de transacciones que aguardan ser atendidas por alguno de los servidores disponibles. Sus características principales incluyen:

• La capacidad de la fila, es decir, el número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella simultáneamente.
• La disciplina de la cola (ej., FIFO, LIFO, prioridad).

Fases Fundamentales de un Proceso de Cola

1. Llegada del Cliente: El cliente o transacción ingresa al sistema de acuerdo con un patrón de llegada específico.
2. Espera en la Fila: Si los servidores están ocupados, el cliente debe esperar en una o más filas hasta que un servidor esté disponible.
3. Servicio y Salida: El cliente recibe el servicio requerido y, una vez completado, abandona el sistema.

Distribución de Poisson en Modelos de Colas

La distribución de Poisson es fundamental para modelar el número de eventos que ocurren en un intervalo fijo de tiempo o espacio, especialmente útil para las llegadas en sistemas de colas.

Propiedades Clave de la Distribución de Poisson:

• La cantidad de resultados (eventos) ocurridos en un intervalo de tiempo o región fijos es independiente de los resultados ocurridos en cualquier otro intervalo de tiempo o región disjunta.
• La probabilidad de que un resultado ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región, y es independiente de los resultados ocurridos fuera de ellos.
• La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región muy pequeña es despreciable.

Ejemplos de Aplicación de la Distribución de Poisson:

Ejemplo 1: Bloqueos de PC

Un estudiante adquiere un PC que experimenta bloqueos frecuentes. El estudiante asume que el número de veces que el PC se bloquea sigue un proceso de Poisson con una media de tres bloqueos por hora.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que el PC siga funcionando sin bloquearse durante al menos una hora después de encenderlo?

Ejemplo 2: Avistamiento de Leones en un Safari

Pregunta: Supongamos que el número medio de leones avistados en un safari de un día es de 5. ¿Cuál es la probabilidad de que los turistas vean menos de cuatro leones en el siguiente día de safari?

Distribución Exponencial en Sistemas de Colas

La distribución exponencial es una variable aleatoria continua que modela el tiempo transcurrido hasta que ocurre el primer suceso en un proceso de Poisson, o el tiempo entre sucesos consecutivos. Es fundamental para describir los tiempos de servicio o los tiempos entre llegadas en sistemas de colas.

Ejemplo de Aplicación de la Distribución Exponencial:

Ejemplo 1: Tiempo de Respuesta de Terminal

Pregunta: Suponga que el tiempo de respuesta (X) en una terminal de computadora en línea (el tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y el inicio de la respuesta del sistema) tiene una distribución exponencial con un tiempo esperado de respuesta de 5 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea como máximo de 10 segundos?