Modelado Predictivo: Regresión Lineal y Correlación Estadística

Fundamentos de la Regresión Lineal

El análisis de regresión tiene como objetivo principal estimar la relación que vincula a una variable dependiente con una o varias variables independientes. Es fundamental que en este tipo de análisis exista una relación de causalidad entre las variables para que el modelo sea significativo.

Variables en la Regresión

• Variable Dependiente: Es la variable cuyo valor se busca predecir o explicar.
• Variable Independiente: Son las variables utilizadas para predecir o explicar la variable dependiente.

La regresión lineal simple relaciona una variable dependiente con una única variable independiente. Un ejemplo práctico sería modelar el precio de una vivienda (variable dependiente) en función de su superficie (variable independiente).

Conceptos Clave en Regresión Lineal

• La desviación estándar alrededor de la línea de predicción (también conocida como error estándar de la estimación) mide la dispersión de los puntos de datos alrededor de la recta de regresión.
• La pendiente estimada en una regresión lineal indica cuánto cambia la variable dependiente por cada unidad de cambio en la variable independiente.
• La determinación de la relación de causalidad no siempre puede establecerse únicamente con la información disponible en un modelo de regresión; a menudo requiere un conocimiento profundo del dominio.
• Los tests de hipótesis son cruciales para determinar la significancia estadística de los coeficientes de regresión.

1 Componentes y Propiedades del Modelo de Regresión Lineal Simple

La ecuación de regresión lineal simple se expresa como: Y_i = b₀ + b₁X_i, donde:

• b₀ es la intersección de la muestra con el eje Y (el valor esperado de Y cuando X es 0).
• b₁ es la pendiente de la muestra (el cambio esperado en Y por cada unidad de cambio en X).

Es importante destacar que la línea de regresión estimada pasa necesariamente por el punto cuyos componentes son las medias de ambas variables (X̄, Ȳ). Las estimaciones de los coeficientes (b₀ y b₁) producidas por el método de mínimos cuadrados ordinarios poseen propiedades estadísticas deseables, como ser estimadores lineales insesgados de mínima varianza (si se cumplen los supuestos).

Descomposición de la Varianza

En el análisis de regresión, la variabilidad total de la variable dependiente se descompone en diferentes fuentes:

• Suma de Cuadrados Total (SCT): Mide la variabilidad total de la variable dependiente.
• Suma de Cuadrados de Regresión (SCR): Representa la variabilidad de la variable dependiente explicada por el modelo de regresión.
• Suma de Cuadrados de Error (SCE): Mide la variabilidad no explicada por el modelo, es decir, el error residual.

2 Coeficiente de Determinación (R²)

El coeficiente de determinación (R²) es una medida clave en la regresión lineal. Se calcula como la Suma de Cuadrados de Regresión (SCR) dividida por la Suma de Cuadrados Total (SCT). Este coeficiente mide el porcentaje de la varianza de la variable dependiente que es explicada por la recta de regresión. Un R² cercano a 1 indica que el modelo explica una gran proporción de la variabilidad de la variable dependiente.

3 Consideraciones Adicionales en Regresión

En los modelos de regresión, las constantes (como el intercepto b₀) son parámetros fijos que definen la posición de la línea de regresión.

4 Diagnóstico Visual de Modelos de Regresión

La representación visual de los datos y los residuos es fundamental para evaluar los supuestos de la regresión. Estas herramientas visuales ayudan a determinar si el modelo de regresión seleccionado es el adecuado y si se cumplen condiciones como la linealidad, la homocedasticidad y la normalidad de los residuos.

5 Regresión Múltiple y sus Ventajas

La regresión múltiple es una extensión de la regresión simple que emplea dos o más variables independientes para pronosticar el valor de una variable dependiente. Su principal ventaja radica en que permite utilizar una parte mayor de la información disponible para estimar la variable dependiente, lo que a menudo conduce a modelos más precisos y robustos.

Objetivos de la Regresión Múltiple

Al aplicar la regresión múltiple, se busca:

• Definir la ecuación de regresión múltiple, que incluye múltiples coeficientes de pendiente.
• Examinar el error estándar de estimación para la regresión múltiple, que indica la precisión de las predicciones del modelo.
• Aplicar el análisis de correlación múltiple para averiguar con qué eficacia la ecuación de regresión describe los datos observados, a través del coeficiente de determinación múltiple (R² ajustado).

Coeficiente de Correlación

El coeficiente de correlación es una medida estadística que evalúa el grado y la dirección de la asociación lineal entre dos variables numéricas. Su cálculo es esencial para comprender la relación entre X e Y.

Interpretación del Coeficiente de Correlación

• Un valor cercano a 1 o -1 indica un fuerte grado de asociación lineal entre las variables.
• Cuando el coeficiente de correlación es exactamente igual a 1 o a -1, existe una asociación lineal perfecta entre X e Y.
• Es crucial para determinar si existe una relación lineal estadísticamente significativa entre X e Y.
• El valor del coeficiente de correlación no solo indica la fuerza relativa de una relación lineal, sino también su sentido (positivo o negativo).