Modelado Estructural: Simplificación a Problemas Bidimensionales y Fundamentos de Elasticidad

I. Idealización de Estructuras Tridimensionales a Modelos Bidimensionales

¿En qué casos podemos idealizar la estructura como problemas bidimensionales?

Esta simplificación es aplicable a estructuras tridimensionales que poseen ciertas características geométricas, permitiendo así reducir la complejidad de los cálculos:

1. Simplificación a nivel conceptual:
   • Estado de tensión plana: Aplicable, por ejemplo, a una viga de gran canto.
   • Deformación plana: Aplicable, por ejemplo, a una presa.
2. Simplificación a nivel matemático:
   • Aplicable a sólidos de revolución con simetría radial, donde el resultado obtenido es exacto.

II. Definición de Estados de Tensión y Deformación

Estado de Tensión Plano

En el estado de tensión plano, los elementos estructurales cumplen las siguientes condiciones:

• Una de sus dimensiones es muy pequeña en comparación con las otras dos.
• La carga se aplica perpendicularmente a esta dirección reducida.
• La componente del tensor de tensión según esta dirección es nula ($\sigma_{33} = 0$, asumiendo la dirección 3 como la pequeña).

Estado de Deformación Plana

Considerando un elemento estructural con características prismáticas:

• Una de las dimensiones (sentido del eje prismático) es mucho más grande que las otras dos.
• Las cargas aplicadas normales al eje prismático son nulas, lo que implica que las deformaciones en esa dirección son despreciables ($\varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = \varepsilon_{33} = 0$).

III. Hipótesis Fundamentales de la Teoría de la Elasticidad Lineal

¿Cuáles son las hipótesis para el planteamiento de la teoría de la elasticidad lineal?

La hipótesis principal es la de deformación infinitesimal (pequeñas deformaciones). Bajo esta condición:

• El tensor de deformación material Green-Lagrange y el tensor de deformación espacial Almansi coinciden.
• La relación matemática es: $\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{2} [\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^T] = \nabla_{\text{sym}} \mathbf{u}$.

IV. Clasificación de Materiales: Isótropos y Anisótropos

Definir material Anisótropo e isótropo.

Material Anisótropo

En un punto del material, sus propiedades presentan valores distintos para diferentes direcciones.

Tipos de Simetría en Materiales Anisótropos:

• Triclínica: El tensor elástico presenta 21 componentes independientes.
• Monoclínica: Posee un único plano de simetría.
• Ortótropa: Presenta dos planos de simetría.
• Tetragonal: Posee cinco planos de simetría.
• Hexagonal: Implica simetría ortótropa, con propiedades isótropas en el plano $x_1-x_2$.
• Cúbica: Implica simetría ortótropa y las mismas propiedades al rotar según $x_3$ y $x_1'$ un ángulo de $90^{\circ}$.

Material Isótropo

Presenta simetría en todas las direcciones; sus propiedades son independientes de la dirección de medición.

V. Principios Constitutivos Termoelásticos

Principios constitutivos:

Son restricciones impuestas para establecer las ecuaciones constitutivas de un material termoelástico simple:

• Principio del determinismo: Establece que los campos (energía libre de Helmholtz $\Psi$, tensión $\boldsymbol{\sigma}$, entropía $\eta$, flujo de calor $\mathbf{q}$) en un punto $(\mathbf{X})$ dependen de toda la historia del movimiento $\mathbf{x}(\mathbf{X},t)$ y de la temperatura $T(\mathbf{X},t)$, pero nunca de los valores futuros de $(\mathbf{x},t)$.
• Principio de acción local: El estado de los campos en un punto material cualquiera depende del estado de dichos campos en la proximidad del punto. La información del movimiento local se da por el gradiente de deformación $\mathbf{F}(\mathbf{X},t)$ y para la temperatura por el gradiente de $T$. Este principio, junto con el anterior, es satisfecho por los materiales termoelásticos.
• Principio equipresencia: No existe razón para excluir una variable de estado independiente de las ecuaciones constitutivas.
• Objetividad (o Invariancia Galileana): Las ecuaciones constitutivas deben ser las mismas para cualquier observador inercial.
• Principio de disipación: Las ecuaciones constitutivas deben cumplir la desigualdad de entropía para todo proceso termodinámicamente admisible.

VI. Planteamiento de Ecuaciones de Gobierno para Elasticidad Lineal Isotérmica y Pequeñas Deformaciones

Hacer el planteamiento de las ecuaciones de gobierno para un problema de sólidos con las siguientes características: proceso isotérmico y adiabático, régimen de pequeñas deformaciones y relación lineal entre tensión y deformación:

Simplificaciones Aplicadas:

Para un proceso isotérmico y adiabático, la temperatura y la entropía no influyen directamente en las ecuaciones constitutivas mecánicas. Para un régimen de pequeñas deformaciones:

• $\boldsymbol{\varepsilon} = \mathbf{e} = \boldsymbol{\mathcal{E}} = \nabla_{\text{sym}} \mathbf{u}$ (Deformación es igual al gradiente simétrico del desplazamiento).
• $\mathbf{P} = \mathbf{S} = \boldsymbol{\sigma}$ (Tensión de Piola-Kirchhoff de primer orden es igual al tensor de Cauchy).
• $\mathbf{F} \approx \mathbf{I}$ (Gradiente de deformación es cercano a la identidad).
• La densidad de masa $\rho$ (actual) es igual a la densidad de referencia $\rho_0$, por lo que la densidad deja de ser una incógnita dependiente del movimiento.

Reducción de Ecuaciones Fundamentales:

Las ecuaciones fundamentales se reducen a:

1. Ecuación del movimiento: $\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \mathbf{b} = \rho \mathbf{a}$ (donde $\mathbf{a} = \ddot{\mathbf{u}}$).
2. Ecuación de energía (simplificada para procesos mecánicos): $\rho \dot{\mathbf{u}} : \boldsymbol{\sigma} : \dot{\boldsymbol{\varepsilon}}$ (Esta ecuación se relaciona con la conservación de la energía, pero en el contexto de pequeñas deformaciones y sin acoplamiento térmico explícito, se centra en la mecánica).
3. Ecuaciones constitutivas: Solo se consideran las dependencias mecánicas: $\Psi = \Psi(\boldsymbol{\varepsilon})$ y $\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon})$.

Ecuaciones de Gobierno Finales (Elasticidad Lineal Homogénea):

Las ecuaciones de gobierno para el problema mecánico son:

1. Ecuación de Movimiento (Ecuación de Cauchy): $\nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \mathbf{b} = \rho \ddot{\mathbf{u}}$
2. Ecuación Constitutiva en Tensión (Ley de Hooke Generalizada): $\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\varepsilon}) = \frac{\partial \Psi(\boldsymbol{\varepsilon})}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}}$
3. Ecuación Cinemática: $\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_{\text{sym}} \mathbf{u}$

Condiciones de Contorno e Iniciales:

Para resolver el sistema, se requieren condiciones en la frontera y al inicio del proceso:

• Condiciones de Desplazamiento (en la superficie $S_u$): $\mathbf{u}(\mathbf{x},t) = \mathbf{u}^*(\mathbf{x},t)$
• Condiciones de Contorno de Esfuerzo (en la superficie $S_{\sigma}$): $\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t) \cdot \mathbf{n} = \mathbf{t}^*(\mathbf{x}, \mathbf{n}, t)$
• Condiciones Iniciales (en $t=0$):
  • Desplazamiento inicial: $\mathbf{u}(\mathbf{x},t=0) = \mathbf{u}_0(\mathbf{x})$
  • Velocidad inicial: $\dot{\mathbf{u}}(\mathbf{x},t=0) = \mathbf{v}_0(\mathbf{x})$