Modelado y Control de Sistemas: Diagramas de Bode, LGR y Sintonización PID

Respuesta en Frecuencia: Diagramas de Bode

A continuación se detallan las características de magnitud y fase para los componentes fundamentales de un sistema de control.

1. Ganancia (K)

Función de transferencia: $G(s) = K$   |   $G(j\omega) = K$

• Ganancia: $|G(j\omega)| = \sqrt{0^2 + K^2} = K$
• En decibelios: $20 \log(|G(j\omega)|) = 20 \log K$
• Fase: $\arg(G(j\omega)) = \arctan(0 / K) = 0^\circ$

Representación:

• Magnitud: Línea horizontal constante en $20 \log K$ dB.
• Fase: $0^\circ$ constante.

2. Integrador (1/s)

Función de transferencia: $G(s) = 1/s$   |   $G(j\omega) = 1 / (j\omega)$

• Ganancia: $|G(j\omega)| = \frac{\sqrt{0^2 + 1^2}}{\sqrt{\omega^2 + 0^2}} = 1 / \omega$
• En decibelios: $20 \log |G(j\omega)| = 20 \log 1 - 20 \log \omega = -20 \log \omega$
• Fase: $\arg(G(j\omega)) = \arctan(0/1) - \arctan(\omega/0) = -90^\circ$

Representación:

• Magnitud: Pendiente constante de -20 dB/década.
• Fase: -90° constante.

3. Polo Real (1 / (1 + Ts))

Función de transferencia: $G(s) = 1 / (1 + Ts)$

Frecuencia de corte: $\omega_c = 1 / T$

• Ganancia: $|G(j\omega)| = 1 / \sqrt{(\omega T)^2 + 1}$
• En decibelios: $20 \log |G(j\omega)| = -10 \log ((\omega T)^2 + 1)$
• Fase: $\arg(G(j\omega)) = \arctan(0/1) - \arctan(\omega T / 1) = -\arctan(\omega T)$

Representación:

• Magnitud: 0 dB hasta $\omega_c$ y pendiente de -20 dB/década después de la frecuencia de corte.
• Fase: $0^\circ$ hasta $0.1 \omega_c$, transición hasta -90° en $10 \omega_c$.

4. Sistemas de Segundo Orden

Frecuencia característica: $\omega_c = \omega_n$

Función de transferencia: $G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\xi\omega_n s + \omega_n^2}$   |   $G(j\omega) = \frac{\omega_n^2}{-\omega^2 + j2\xi\omega_n\omega + \omega_n^2}$

Ganancia: $|G(j\omega)| = \frac{\omega_n^2}{\sqrt{(\omega_n^2 - \omega^2)^2 + (2\xi\omega_n\omega)^2}}$

En decibelios:

$20 \log |G(j\omega)| = 20 \log \omega_n^2 - 20 \log \sqrt{(\omega_n^2 - \omega^2)^2 + (2\xi\omega_n\omega)^2}$
$= 40 \log \omega_n - 10 \log ((\omega_n^2 - \omega^2)^2 + (2\xi\omega_n\omega)^2)$

Fase: $\arg(G(j\omega)) = \arctan(0/\omega_n^2) - \arctan\left(\frac{2\xi\omega_n\omega}{\omega_n^2 - \omega^2}\right)$

Representación aproximada:

• Magnitud: 0 dB para $\omega < \omega_n$ y pendiente de -40 dB/década para $\omega > \omega_n$.
• Fase: $0^\circ$ hasta $0.1 \omega_c$, transición hasta -180° en $10 \omega_c$.

Reglas del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR)

5. Asíntotas

6. Centroide

7. Puntos de Unión y Separación

• 1: Dos polos en el eje real y el tramo pertenece al LGR (dispersión).
• 2: Dos ceros en el eje real y el tramo pertenece al LGR (confluencia).
• 3: Un cero en el eje real y una rama.

8. Ángulos de Salida y Llegada

Se calculan desde/hacia ceros o polos, aplicable únicamente si existen polos o ceros complejos conjugados.

9. Puntos de Corte con el Eje Imaginario

Determinación de la estabilidad marginal del sistema.

Propiedades Fundamentales del LGR

1. Simetría: El lugar de las raíces es simétrico respecto al eje real ($\mathbb{R}$).
2. Número de ramas: Es igual al número de polos en lazo abierto (LA).
3. Inicio y fin: Las ramas comienzan en los polos de lazo abierto y terminan en los ceros de lazo abierto.
4. Infinito: Si no hay suficientes ceros, las ramas terminan en el infinito siguiendo las asíntotas.
5. Segmentos en el eje real: Para evaluar si un punto del eje real pertenece al LGR, se cuenta el número de ceros y polos a su derecha:
   • Si el número es impar: pertenece al LGR.
   • Si el número es par: no pertenece al LGR.

Digitalización y Controladores

Proceso de digitalización:

Etapas:
1º

2º

Configuración de Controladores PID

Análisis de Parámetros y Error en Estado Estacionario