Micro, Meso i Macro Espais: Teoria de Piaget i Geometria

Micro, meso i macro espais

Com un individu construeix les nocions d’espai i d’orientació? Ordre d’espais que orienta l’infant de forma progressiva a educació infantil (0-6 anys):

• Esquema corporal: Coneixement de les parts del cos.
• Microespai: Espai més immediat; el que just pot arribar amb les seves mans.
• Mesoespai: Espai de tot allò que poden controlar amb la vista; camp visual.

Progressió d’espais que orienta l’infant a educació primària (6-12 anys):

• Mesoespai: S’ha de començar treballant aquest mateix espai a primària amb activitats de transició cap al macroespai, pensant recorreguts propers que no estiguin dins del seu camp visual.
• Macroespai: Quan parlem d’un espai que no és el que pot veure en aquell mateix moment; espai exterior que ens envolta.
• Espai abstracte: Abstracció del món real; representació del macroespai.

Tipus diferents de representació i localització a l’espai: Croquis, mapa a escala, plànol, mapa topogràfic, representacions digitals (Google Maps), maqueta, vista en planta, alçat, perfil.

Simetries a damunt dels eixos de coordenades:

• Simetria axial → respecte a un eix (si dobleguem el full, les dues meitats coincideixen). On X=0. Les cometes es fan servir per indicar que és una simetria. Totes les simetries i la taula de x,y al costat.
• Simetria central → respecte a un punt (l’origen de coordenades). La distància del vèrtex al punt haurà de ser la mateixa a la nova simetria al mateix punt. Has de fer la línia pel vèrtex de cada punt. Es treballa trobant el punt simètric d’un altre: traçant un vector perpendicular a l’eix i copiant-lo a l’altra banda.
• Simetria rotacional → gira i hem de dir quants graus gira.

Localització a damunt de l’esfera: el cas del nostre planeta -- Meridià de Greenwich (vertical) → divideix est i oest -- Línia de l’Equador (horitzontal) → divideix nord i sud. -- Longitud → distància angular est-oest. - Latitud → distància angular nord-sud.

Sistema numèric sexagesimal i decimal: És la relació entre angles, temps i coordenades geogràfiques.

• Sistema sexagesimal: es basa en 60 parts. 1 grau = 60 minuts (’) 1 minut = 60 segons (”). S’utilitza per mesurar angles, temps i coordenades (latitud/longitud).
• Sistema decimal: es basa en 10 parts (com el nostre sistema numèric habitual). Google Maps utilitza coordenades decimals (amb punts i signes +/− per nord/sud i est/oest).

Pendent: Per calcular pendent ha d’estar tot en metres o km (normalment es calcula a metres). Pendent = (Y1 - Y0) / (X1 - X0) x 100. Pendent mitjà -- Miro on començo i on acabo.

Teoria de Piaget: percepció i representació.

El punt inicial del coneixement geomètric són les percepcions del nen amb els sentits de la vista i el tacte, de manera que a partir d’aquí desenvolupa el llenguatge i aquestes percepcions adquireixen sentit dins del seu context de l'entorn físic. Segons Piaget, Bruner i Dienes, la manipulació d'objectes concrets constitueix la base del coneixement humà en general i de les matemàtiques en particular. Les accions amb material passen a ser interioritzades i generalitzades en forma de conceptes i relacions a les quals li poden anar associades símbols (paraules o símbols matemàtics).

Piaget distingeix entre:

• Percepció: Coneixement dels objectes resultat del contacte directe amb ells.
• Representació: Comporta l’evocació d’objectes en absència d’aquests, que els té a la ment.

Els alumnes passen per dos estadis:

• Estadi sensoriomotor: Predomina purament la percepció (conèixer els objectes que va veient). Per tant, discrimina entre diferents objectes presentats visualment. Es desenvolupa fins als dos anys.
• Estadi de les operacions concretes: A partir de set anys; és quan la representació predomina. És capaç de representar objectes sense tenir-los davant. Entre els dos i set anys, l’alumne va evolucionant paulatinament de l’estadi sensoriomotor que només és perceptiu fins a adquirir la representació.

Propietats topològiques, projectes i euclidianes dels objectes.

Entre aquests dos estadis, l’alumne va desenvolupant cada vegada diferents tipus de propietats:

• Propietats topològiques: Primeres propietats; que no canvien si variem la forma i el format: Reconèixer un objecte per aquestes propietats, taula per una superfície plana per estar a sobre de quatre potes. Reconeixem els cossos geomètrics a partir d’aquests trets més universals. La geometria del món real.
• Proximitat: Saber si dos punts de la mateixa forma geomètrica estan a prop o lluny en deformar la figura.
• Separació: Saber si dos punts de la forma geomètrica que estan separats segueixen estant-ho si la figura canvia de format.
• Ordenació: Saber si dos punts que estan ordenats en un sentit en una forma geomètrica, ho segueixen estant si canvia de forma.
• Tancament: Saber si dos punts que estan dins d’un cercle, ho continuen estant si canvia de forma la figura.
• Continuïtat: Saber si una línia recta que està a continuació d’una corba en una figura, ho segueix estant si la figura es deforma.

Propietats projectives: Tenen a veure amb les diferents vistes i projeccions que té una figura depenent d’on es mira. Una mateixa forma pot tenir diferents visualitzacions depenent de l’angle en què es mira. Ex: alçat, perfil. Un cub, projectem el seu volum, i projectar com és. Els nens i les nenes comencen a definir i perfilar més.

Propietats euclidianes: Són les relatives als formats, distàncies i direccions que condueixen a la mesura de les longituds, angles, àrees,... Mirar si sap diferenciar un trapezi d’un rectangle segons els angles i les longituds dels costats.

Per demostrar els diferents estadis (percepció i representació), Piaget i Inhelder i Murray van agafar quatre figures (rodona, triangle, quadrat i rombo), cada vegada més complexes, i van veure com els infants les anaven representant. Els hi van deixar unes figures perquè manipulessin una estona sense veure-les, i després havien de representar en un full les figures que havien manipulat.

• Amb 6 anys i mig, van ser menys del 20% dels alumnes els qui van reproduir correctament les figures amb costats rectes.
• Degut que l’experiment que va fer no va funcionar bé, Noelting va tornar a repetir el mateix experiment, però va pensar que potser el problema no era la representació, sinó que no sabien fer línies rectes. Així doncs, els hi va facilitar uns escuradents per fer-ho. Es va poder veure que els resultats concordaven i demostraven la teoria de Piaget. A més, es va poder veure que el problema venia per la realització de línies rectes.
• A partir de 6 anys i mig, 2/3 dels nens van saber construir perfectament el rombe.

La teoria de Piaget va molt bé per entendre els passos del nen, però no explica com ensenyar la geometria a l'escola, i aquí és on entra el model de Van Hiele.

Classificació de polígons: nombre de costats i d’angles.

Un polígons és una figura plana i tancada (línies rectes).

Elements d’un polígons:

• Costats
• Vèrtexs
• Angles
• Diagonals

Podem classificar els polígons per:

• Nombre de costats: Triangles, Quadrat, Pentàgon, Hexagon.
• Angles: Convex i Còncau. Convex: angles exteriors < 180º. Còncau: algun angle interior de més de 180º.

El model de Van Hiele.

Aquesta teoria és la fonamentació teòrica per l'ensenyament-aprenentatge de la geometria a l'escola. Els nens aprenen segons uns nivells d'aprenentatge. No es pot arribar a un nivell superior si no hem arribat a un nivell inferior. Cada nivell té el seu llenguatge propi. Així, amb el llenguatge que utilitzi l’alumne sabrem a quin nivell està.

La funció del mestre és ajudar a que canviï de nivell:

1. Visualització i reconeixement: No para atenció als components d’una figura. L’alumne reconeix només les figures geomètriques més simples a través de la vista perquè les ha vist moltes vegades (si canvia una mica, es pot perdre). El llenguatge és molt bàsic i es basa en visualització (nom, costats i poc més).
2. Descripció i anàlisi: Es comença a prendre consciència dels elements d’una figura i de les seves propietats (rectangle té 4 costats, paral·lels dos a dos,...), però no sap relacionar propietats que tenen en comú diferents figures.
3. Relació de propietats i classificació: En aquest nivell, l’alumne comença a relacionar propietats per tal d'aconseguir fer relacions depenent de les propietats. Aquí comença a fer classificacions i defineix figures amb un llenguatge més complex.
4. Deducció formal: L’alumne té la capacitat per fer demostracions originals de les propietats i els teoremes. Demana una abstracció més complexa, que demana àlgebra i demostracions (teorema de Tales). S’acostuma a abordar a educació secundària.

Els angles dels polígons. Com calcular-los. (Suma d’angles) regulars → 𝐴𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑠 = 180 × (𝑛 − 2) 𝑛 on n NÚMERO DE COSTATS. Tots els angles són iguals:

En un polígons regular, tots els angles interiors són iguals. Per tant, si volem saber la mida d’un angle interior, només cal dividir la suma total entre el nombre de costats:

Les diagonals dels polígons. Com calcular-les. 𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑠 = 𝑣(𝑣 − 3)/2, on v vol dir vèrtex. Cada vèrtex pot connectar-se amb: (v − 1) altres vèrtexs (tots menys ell mateix), però 2 d’aquests ja formen els costats del polígons (els vèrtexs veïns). Així doncs, cada vèrtex pot fer (v − 3) diagonals. Com que cada diagonal connecta dos vèrtexs, la comptem dues vegades, i per això dividim entre 2.

Eixos de simetria poliedres: t4, c13, o13, d i 15