Métodos de Trazado Geométrico: Construcción de Espirales, Cónicas y Tangencias

Construcciones Geométricas Fundamentales

Espirales

Espiral de Dos Centros

1. Se traza una línea recta que contiene los puntos 1 y 2.
2. Con centro en 1 y radio 1-2, se traza el arco 2A.
3. Con centro en 2 y radio 2A, se dibuja el arco AB.
4. Con centro en 1 y radio 1B, se traza el siguiente arco.
5. El proceso se repite alternando los centros 1 y 2.

Espiral de Tres Centros

1. Se traza una línea con los puntos 3 y 2, y se construye la mediatriz, formando un triángulo (generalmente equilátero o isósceles).
2. Con centro en 1 y radio 1-3, se traza el arco 3A.
3. Con centro en 2 y radio 2A, se traza el arco AB.
4. Con centro en 3 y radio 3B, se construye el arco BC.
5. El proceso continúa alternando los centros 1, 2 y 3.

Curvas Cerradas: Óvalos y Ovoides

Óvalo (Construcción por Cuatro Centros)

1. Se traza el eje mayor AB y se divide en tres segmentos iguales (puntos E y F).
2. Con centros en E y F y radio EF, se dibujan dos circunferencias que se cortan en los puntos P y Q.
3. Se unen los puntos P y Q con E y F.
4. Se prolongan las líneas hasta cortar las circunferencias en S, T, U y V.
5. Con centros en P y Q y radios iguales a la distancia entre los puntos de corte (o el diámetro de las circunferencias), se trazan los arcos TU y SV, completando el óvalo.

Ovoide

1. Se dibuja una línea horizontal AB y su mediatriz.
2. Con centro en O (intersección de AB y la mediatriz) y radio OA, se traza una circunferencia que corta la mediatriz en T y S.
3. Se trazan las rectas BS y AS y se prolongan.
4. Con centros en A y B y radio AS (o la distancia AN, según la construcción específica), se trazan arcos que cortan las rectas prolongadas en C y D.
5. Con centro en S y radio SC, se traza el arco CD, cerrando el ovoide.

Tangencias y Enlaces

Tangencias Exteriores (Trazado de Tangentes Comunes)

1. Se unen los centros $O_1$ y $O_2$ de las dos circunferencias y se halla la mediatriz para obtener el punto medio P.
2. Con centro en P y radio $PO_1$, se traza una circunferencia auxiliar.
3. Desde la circunferencia mayor, y con radio $R_1 - R_2$ (diferencia de radios), se traza una tercera circunferencia auxiliar.
4. Desde $O_2$, se trazan rectas que pasan por los puntos de corte (1 y 2) de las circunferencias auxiliares, obteniendo los puntos de tangencia $T_1$ y $T_2$ en la circunferencia mayor.
5. Desde $O_1$, se trazan paralelas a las rectas anteriores, consiguiendo los puntos de tangencia $T_3$ y $T_4$ en la circunferencia menor.
6. Se unen $T_3$ con $T_1$ y $T_4$ con $T_2$ para obtener las tangentes exteriores comunes.

Tangencias Interiores (Trazado de Tangentes Comunes)

1. Se unen los centros $O_1$ y $O_2$ de los dos círculos y se halla el punto medio P.
2. Se traza una circunferencia auxiliar con centro en P.
3. Desde $O_2$, y con radio $R_1 + R_2$ (suma de radios), se traza una circunferencia auxiliar que corta la primera en los puntos 1 y 2.
4. Desde $O_2$, se trazan rectas que pasan por 1 y 2, obteniendo los puntos de tangencia $T_1$ y $T_2$ en la circunferencia mayor.
5. Desde $O_1$, se trazan paralelas a las anteriores en sentido contrario, obteniendo $T_3$ y $T_4$ en la circunferencia menor.
6. Se unen $T_3$ con $T_1$ y $T_4$ con $T_2$ para obtener las tangentes interiores comunes.

Enlaces (Unión de Segmentos Sucesivos)

1. Se definen siete líneas o segmentos.
2. Se traza la mediatriz del segmento AB en cualquier punto.
3. Se une el punto B con el punto O, y el segmento BO corta la mediatriz del siguiente segmento.
4. Así sucesivamente, se van uniendo los segmentos mediante centros de enlace.

Curvas Cónicas

Elipse (Método de los Focos)

1. Se trazan los ejes AB (mayor) y CD (menor), perpendiculares entre sí. Con centro en C y radio OB (semieje mayor), se traza un arco que corta el eje AB en los focos $F_1$ y $F_2$.
2. Se elige un punto arbitrario 1 entre $F_1$ y O.
3. Con centros en $F_1$ y $F_2$ y radio $A-1$, se trazan arcos a ambos lados del eje AB.
4. Con centros en $F_1$ y $F_2$ y radio $B-1$, se trazan arcos que cortan a los anteriores en los puntos N, P, $N_2$ y $P_2$.
5. Repitiendo el proceso con diferentes puntos arbitrarios, se obtienen suficientes puntos para dibujar la elipse.

Parábola (Método por Puntos)

1. Se define la directriz D y el eje de simetría OX.
2. Se sitúa el foco F y el vértice V, que es el punto medio de la distancia entre O y F.
3. A partir de F, se marcan puntos arbitrarios 1, 2, 3... y se trazan perpendiculares al eje OX.
4. Con centro en F y radios $V-1$, $V-2$, $V-3$ (distancias del vértice a los puntos marcados), se trazan arcos que cortan las perpendiculares en los puntos A, $A_1$, B, $B_1$, C, $C_1$, etc.
5. Se unen los puntos obtenidos para trazar la curva parabólica.

Hipérbola (Método por Puntos)

1. Se trazan el eje real $A A'$ y el eje imaginario $B B'$, perpendiculares entre sí.
2. Con centro en O y radio AB, se determinan los focos $F_1$ y $F_2$ sobre el eje real.
3. Se marcan puntos arbitrarios 1, 2, 3... sobre el eje real, fuera del segmento $A A'$.
4. Con centros en $F_1$ y $F_2$, se trazan arcos con radios $A-1$ y $A'-1$ (diferencia constante), para que se corten en los puntos S, P, $S_1$ y $P_1$.
5. Se repite el proceso con los puntos 2, 3, etc., uniendo los puntos obtenidos para dibujar la curva hiperbólica.