Resolución de Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Sección 1: EDO Homogénea de Segundo Orden (Raíces Reales Distintas)

Cálculo de la Solución Particular mediante Condiciones Iniciales

Ecuación Diferencial:

$$ \frac{d^2y}{dt^2} + 2\frac{dy}{dt} - 8y = 0 $$

Valores Iniciales:

• $y(0) = 3$
• $y'(0) = -12$

Paso 1: Determinación de la Ecuación Característica

Proponiendo la solución $y(t) = e^{rt}$, la ecuación auxiliar es:

$$ r^2 + 2r - 8 = 0 $$

Paso 2: Cálculo de las Raíces

Factorizando el polinomio:

$$ r^2 + 4r - 2r - 8 = 0 $$

$$ r(r+4) - 2(r+4) = 0 $$

$$ (r+4)(r-2) = 0 $$

Las raíces son $r_1 = -4$ y $r_2 = 2$.

Paso 3: Solución General

La solución general es:

$$ y(t) = c_1e^{-4t} + c_2e^{2t} $$

Paso 4: Aplicación de las Condiciones Iniciales

Primero, calculamos la derivada de la solución general:

$$ y'(t) = -4c_1e^{-4t} + 2c_2e^{2t} $$

Aplicando $y(0)=3$:

$$ y(0) = c_1e^{0} + c_2e^{0} \implies c_1 + c_2 = 3 \quad \text{(1)} $$

Aplicando $y'(0)=-12$:

$$ y'(0) = -4c_1e^{0} + 2c_2e^{0} \implies -4c_1 + 2c_2 = -12 $$

Dividiendo la segunda ecuación por 2:

$$ -2c_1 + c_2 = -6 \quad \text{(2)} $$

Paso 5: Resolución del Sistema de Ecuaciones

Restando la Ecuación (2) de la Ecuación (1):

$$ (c_1 + c_2) - (-2c_1 + c_2) = 3 - (-6) $$

$$ 3c_1 = 9 \implies c_1 = 3 $$

Sustituyendo $c_1 = 3$ en (1):

$$ 3 + c_2 = 3 \implies c_2 = 0 $$

Solución Final

La solución particular que satisface las condiciones iniciales es:

$$ \mathbf{y(t) = 3e^{-4t}} $$

Sección 2: EDO Homogénea de Segundo Orden (Raíces Irracionales)

Determinación de la Solución Particular

Ecuación Diferencial:

$$ \frac{d^2z}{dt^2} - 2\frac{dz}{dt} - 2z = 0 $$

Valores Iniciales:

• $z(0) = 0$
• $z'(0) = 3$

Paso 1: Ecuación Característica y Raíces

La ecuación auxiliar es $r^2 - 2r - 2 = 0$. Las raíces, obtenidas mediante la fórmula cuadrática, son:

$$ r = 1 \pm \sqrt{3} $$

Paso 2: Solución General

La solución general está dada por:

$$ z(t) = c_1e^{(1+\sqrt{3})t} + c_2e^{(1-\sqrt{3})t} $$

La derivada es:

$$ z'(t) = c_1(1+\sqrt{3})e^{(1+\sqrt{3})t} + c_2(1-\sqrt{3})e^{(1-\sqrt{3})t} $$

Paso 3: Aplicación de Condiciones Iniciales

Sustituyendo $z(t)$ y $z'(t)$ en las condiciones iniciales se obtiene el sistema:

1. $z(0) = c_1 + c_2 = 0 \implies c_2 = -c_1$
2. $z'(0) = c_1(1+\sqrt{3}) + c_2(1-\sqrt{3}) = 3$

Sustituyendo $c_2 = -c_1$ en la segunda ecuación:

$$ c_1(1+\sqrt{3}) - c_1(1-\sqrt{3}) = 3 $$

$$ c_1(2\sqrt{3}) = 3 \implies c_1 = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Por lo tanto, $c_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Solución Final

La solución particular es:

$$ \mathbf{z(t) = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( e^{(1+\sqrt{3})t} - e^{(1-\sqrt{3})t} \right)} $$

Sección 3: Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Primer Orden

Método de Coeficientes Constantes

Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) de primer orden con coeficientes constantes:

$$ a\frac{dy}{dt} + by = 0 $$

a) Determinación de la Ecuación Auxiliar

Sustituimos la solución propuesta $y(t) = e^{rt}$. La derivada es $y'(t) = re^{rt}$.

Al sustituir en la EDO, obtenemos la ecuación característica:

$$ a(re^{rt}) + b(e^{rt}) = 0 \implies e^{rt}(ar + b) = 0 $$

La ecuación auxiliar es:

$$ ar + b = 0 $$

b) Solución General

Al resolver para $r$ y sustituirlo de vuelta en la solución propuesta:

$$ ar + b = 0 \implies r = -b/a $$

La solución general es:

$$ \mathbf{y(t) = ce^{-bt/a}} $$

Ejemplos Aplicados

Ejemplo 3.1: $5dy/dt + 4y = 0$

La ecuación característica es $5r + 4 = 0$, lo que resulta en $r = -4/5$.

Así, una solución general es:

$$ \mathbf{y(t) = ce^{-4t/5}} $$

Ejemplo 3.2: $6dw/dt - 13w = 0$

La ecuación característica es $6r - 13 = 0$, lo que resulta en $r = 13/6$.

La solución general es:

$$ \mathbf{w(t) = ce^{13t/6}} $$

Sección 4: Independencia Lineal de Funciones

Determinaremos si los conjuntos de funciones dadas son linealmente independientes en el intervalo $(-\infty, \infty)$.

a) Funciones: $y_1(t)=1$, $y_2(t)=t$, $y_3(t)=t^2$

Si fueran linealmente dependientes, existirían constantes $c_1, c_2$ tales que $y_3(t) = c_1y_1(t) + c_2y_2(t)$, es decir:

$$ t^2 = c_1 + c_2t $$

Esta igualdad es imposible de satisfacer para todo $t$, ya que el lado izquierdo es cuadrático (grado 2) y el lado derecho es lineal (grado $\le 1$).

Conclusión: Las funciones son linealmente independientes.

b) Funciones: $y_1(t)=-3$, $y_2(t)=5\sin^2(t)$, $y_3(t)=\cos^2(t)$

Buscamos una combinación lineal no trivial que sume cero. Utilizamos la identidad trigonométrica fundamental $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

Podemos expresar $y_1(t)$ como una combinación de $y_2(t)$ y $y_3(t)$:

$$ y_1(t) = -3 $$

Si elegimos $c_2 = -3/5$ y $c_3 = -3$:

$$ c_2y_2(t) + c_3y_3(t) = \left(-\frac{3}{5}\right) (5\sin^2 t) + (-3)\cos^2 t $$

$$ = -3\sin^2 t - 3\cos^2 t = -3(\sin^2 t + \cos^2 t) = -3 $$

Dado que $y_1(t) = c_2y_2(t) + c_3y_3(t)$, las funciones son linealmente dependientes.

c) Funciones: $y_1(t)=e^t$, $y_2(t)=te^t$, $y_3(t)=t^2e^t$

Si fueran dependientes, $y_3(t) = c_1y_1(t) + c_2y_2(t)$. Dividiendo por $e^t$ (que es siempre positivo):

$$ t^2 = c_1 + c_2t $$

Al igual que en el caso (a), esta igualdad no se cumple para todo $t$.

Conclusión: Las funciones son linealmente independientes.

d) Funciones: $y_1(t)=e^t$, $y_2(t)=e^{-t}$, $y_3(t)=\cosh t$

Recordamos la definición del coseno hiperbólico:

$$ \cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2} $$

Podemos expresar $y_3(t)$ como una combinación lineal de $y_1(t)$ y $y_2(t)$:

$$ y_3(t) = \frac{1}{2}e^t + \frac{1}{2}e^{-t} = \frac{1}{2}y_1(t) + \frac{1}{2}y_2(t) $$

Existe una combinación lineal no trivial ($c_1=1/2, c_2=1/2, c_3=-1$) que suma cero.

Conclusión: Las funciones son linealmente dependientes.