Métodos de Resolución y Teoremas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

EDO homogénea

Y'=f(x,y)/g(x,y). Si son del mismo grado y sin término independiente, se hace el cambio v= y/x => y=vx. Entonces las x se van y se resuelve por separables.

EDo lineal

Solución es y=yp+yh. Para yh se coge la homogénea asociada y se hace separables. Depués para yp se hace k= k(x). Entonces resolvemos.

Bernoulli

A(x)y'+a2(x)y=b(x)y^t. Se hace el cambio z=y^(1-t). Calculamos z' y se sustituye. Y después se deshace el cambio EDO exacta:
M(x,y)+N(x,y)y'=0. Se comprueba que es exacta. Y depués se calcula sabien que la D(x)f=M y d(y)f=N. En la primera derivada te dan una constante dependiente de y. Y cn la otra igualdad calculas esa constante. Después la solución es f(x,y)=C, c€R.

Orden superior:

-

Lineal homogénea constante:

Asociamos el polinomio carácterístico en función de m. Entonces calculamos las raíces. El conjunto de las soluciones tendrá como base [e^m1x,e^m2x], donde m1 y m2 son las raíces.**Si alguna tuviera multiplicidad =n, entonces [x^n-1e^mx,...,x^0e^mx]

-Homogénea de orden 2 con coeficientes variables:

Sea y1(x) solución, encontramos y2(x)=z(x)y1(x). Como queremos que y2 es solución, la sustituimos en la EDO y hallamos z(x). Por tanto [y1(x),y2(x)] es base del conjunto de las soluciones.
-EDO lineal no homogénea y=yh+yp. Yh con la homogénea. (caso anterior).

Para yp:

1)

Variación de constantes

Si y1 y y2 son soluciones de la homogénea (a partir de yh), entonces hacemos y=C1(x)y1(x)+C2(x)y2(x), e imponemos que y es solución(cumple la ecuación), y que C1'(x)y1(x)+C2'(x)y2(x)=0. Nos dan C1' y c2', y hallamos C1 y c2.
2)

Coeficientes indeterminados

Y=Ab(x), (siendo b(x) polinomio, exponencial, sen o cos).

TEOREMAS

. Recordar que Ù es omega. (Teorema de Picard)

Sean Ù C R^N+1 un conjunto abierto no vacío, y f: Ù -->R^N / f€C(Ù ,R^N) ()LIPloc(y, Ù ). Con estas condiciones para cada (x0,y0)€ Ù , existe un delta(d),>0, / si denotamos Id=[x0-d,x0+d], exite 1 ysólo1 solución al PC en Id.

(Punto fijo de Banach):

Sean (X,d) un espacio métrico completo y T:X-->X aplicación contractiva. Entonces existe 1 y sólo 1 punto fijo deT,i.E.,existe 1ysólo1 ^x^€X / T ^x^=^x^. Para demostrar la unicidad basta suponer que ^x^ es otro punto fijo de T. Entonces, se debe cumplir d(^x^,^x^)=d(T^x^,T^x^)<=(alfa)d(^x^,^x,^), => [(1-(alfa)]d(^x^,^x^)<=0, con lo que al ser (alfa)<1, tenemos d(x..)=0, y por tanto ^x^=^x^.
(Lema de Gronwall): a)
supongamos dados -inf<x0<x1<+inf, dos funciones u,k€C([x0,x1]), y una const h€R / k(x)>=0, y u(x)<= h+INTEGRAL(x,x0)[k(s)u(s)ds], Vx€[x0,x1]. Entonces se satisface, u(x)<=he^{integral(x,xo)[k(s)ds,} Vx€[x0,x1].
b) igual pero -inf<x1<x0<+inf, y las integrales son entre (x0,x1), y x€[x1,x0]
(Unicidad global):
empieza igual que Picard, y consideramos un punto fijo (x0,y0)€Ù. Entonces si (I1,fi1) e (I2,fi2) son soluciones locales del PC, entonces fi1(x)=fi2(x), Vx € I1()I2. demostración:
sabemos que por defi de sol al PC, el punto x0€ I1()I2 y fi1(x0)=fi2(x0)=y0. Sea x1/=x0, que pertenece a I1()I2, y supongamos que x1<x0. Entonces [x1,x0] está contenido en I1()I2, y por tanto: fij(x)=y0 + INT(x,x0)[f(s,fij(s))ds], Vx€[x1,x0], Vj=1,2. Si K= {(s,fi1(s);s€[x1,x0]}U{igual con fi2). K es compacto y contenido en Ù. SI Lk>0 es una constante Lipschitz respecto de y para f en K. De(fij=...), tenemos que para cada x€[x1,x0], absol(fi1(x)-fi2(x))= abs(INT(x,x0)[(f(s,fi1(s))-f(s,fi2(s))<= INT (x0,x)[abs(f(s,fi1(s))-f(s,fi2(s)) ds<= Lk INT (x0,x)[abs(fi1(s)-fi2(s) ) ds, y por tanto, aplicando GRonwall con h=0, k=Lk, y u(x)= abs(fi1(x)-fi2(x)), obtenemos abs(fi1(x)-fi2(x)) <=0, Vx€[x1,x0], y en particular abs(fi1(x1)-fi2(x1))=0. Análogo para el caso x1>x0. CQD.