Métodos de Proyección para la Determinación de Secciones Cónicas y Esféricas

Procedimientos de Intersección en Cuerpos Geométricos

Sección Elíptica (Intersección que no corta a la directriz)

Procedimiento para obtener la sección elíptica mediante el método de homología en un cono:

1. Se consigue el eje de homología.
2. Se traza una perpendicular al eje de homología por $O_h$, consiguiendo los puntos $11$ y $12$ sobre la circunferencia base.
3. Se buscan esas generatrices.
4. Donde la perpendicular corta al eje de homología se consigue el punto $3_h$. Se sube a la Línea de Tierra (LT).
5. Se proyecta la generatriz de $11$, consiguiendo $11'$ (especialmente relevante en proyecciones oblicuas). Este punto se ve en la intersección de homología con la generatriz.
6. Se une $3$ con $11'$ para obtener el Rayo de Homología.
7. Donde el rayo corta a la generatriz de $12$ se consigue $12'$.
8. Se halla el Punto Medio (PM) entre $11'$ y $12'$, consiguiendo $O'_h$.
9. Se suben los puntos de intersección.
10. Se sube $O'$, que debe estar entre $11'$ y $12'$.
11. Se une $O'_v$ con el vértice y se consigue la generatriz.
12. Esa generatriz corta en la LT, consiguiendo el punto $4$.
13. Se baja $4$ a la recta $11_h$ y $12_h$.
14. Se traza una paralela al eje de homología por $4_h$.
15. Se consiguen $2$ puntos en la circunferencia, $15$ y $16$.
16. Se buscan las generatrices correspondientes.
17. Se traza una paralela al eje de homología por $O'$.
18. Donde esa recta corta a la generatriz de $15$ y $16$ se consiguen $15'$ y $16'$.
19. La elipse pasa por los puntos $11'$, $12'$, $15'$ y $16'$.

Sección Parabólica (Plano secante paralelo a una generatriz)

Procedimiento para la construcción de la parábola (Plano $\alpha'$ tangente a la directriz):

1. El plano secante corta a la circunferencia en $2$ puntos ($11$ y $12$), que son puntos de la parábola.
2. Se busca el punto medio (PM) entre $11$ y $12$, resultando en $13$.
3. El plano paralelo por el vértice toca a la circunferencia en el punto $T$ (tangencia).
4. Se busca la generatriz más lejana.
5. Se traza una paralela a $T_v$ por $13$. Donde esa recta corta a la generatriz más lejana se encuentra $V_p$ (vértice de la parábola).
6. Se divide el segmento $11-13$ en partes iguales (método del paralelogramo).
7. Se divide el segmento $13-12$ en partes iguales (método del paralelogramo).
8. Se traza una paralela al segmento $11-12$ por el vértice de la parábola.
9. Se traza una paralela a $T_v$ por $11$ y $12$.
10. Se procede a terminar el método del paralelogramo para definir la curva.

Sección Cilíndrica

Determinación de la sección producida por un plano secante en un cilindro:

1. Se consigue el eje de homología.
2. Se traza una perpendicular al eje de homología por $O$ y se consiguen dos puntos sobre la circunferencia base.
3. Se buscan esas generatrices, denominadas $11$ y $12$.
4. Se intercepta el eje $OO'$ con el plano secante, obteniendo el centro $O$ de la sección.
5. Donde la perpendicular al eje de homología corta al plano secante se encuentra el punto $3$.
6. Se consigue el Rayo de Homología, que es la unión del punto $3$ con el centro $O$ de la sección.
7. Donde el rayo de homología corta a la generatriz de $11$ y $12$ se consiguen los puntos de intersección $i_1$ e $i_2$.
8. Se traza una paralela al eje de homología por $O$.
9. Se consiguen dos generatrices, $15$ y $16$.
10. Se traza una paralela al eje por $O$ de la sección. Donde esa recta corta a la generatriz de $15$ y $16$ se obtienen $i_3$ e $i_4$.
11. Se encuentra la sección, la cual debe pasar por $i_1, i_2, i_3$ e $i_4$.

Determinación de Trazas de Planos

Trazas de un Plano $\alpha'$ que pasa por el Vértice

1. Se trazan las rectas horizontal ($h$) y frontal ($f$) por el vértice.
2. Se sacan los puntos de trazas de esas rectas.
3. Por los puntos de trazas se trazan paralelas a las trazas del plano $\alpha$.

Sacar Trazas de un Plano Oblicuo

1. Se trazan las rectas horizontal ($h$) y frontal ($f$) por cualquier punto del plano.
2. Se sacan las trazas de esas rectas.
3. Por los puntos de trazas, trazar una paralela a las trazas $h$ y $f$ del plano.

Secciones Esféricas

Huso Esférico (Planos que comparten el mismo centro $O$)

1. Se traza la normal del plano secante por el centro $O$.
2. Se intercepta la normal en el plano secante, obteniendo $O'$, el centro de la sección.
3. Se trazan horizontales y frontales por $O'$.
4. Se aplican los pasos para dibujar la elipse (utilizando el método trampa).
5. Se dibuja la porción de la esfera que está fuera de ambas elipses.

Casquete Esférico (Plano perpendicular al eje de la esfera)

Este método permite conseguir el radio real de la sección circular.

1. Se traza la normal del plano secante por el centro $O$.
2. Se intercepta la normal en el plano secante, obteniendo $O'$, el centro de la sección.
3. Se trazan horizontales y frontales por $O'$.
4. Se determina el radio de la sección.
5. Se busca la Traza Vertical (VT) de la recta $OO'$.
6. Se aplican los pasos para dibujar la elipse (utilizando el método trampa).
7. Se dibuja la medialuna (la porción del casquete).