Mesures de Dispersió i Classificació de Variables Estadístiques

Mesures de Dispersió i Variabilitat Estadística

El Coeficient de Variació (C.V.)

El Coeficient de Variació, representat com a C.V., és una mesura relativa de variabilitat que es defineix mitjançant la següent fórmula:

C.V. = s / x̅ (on s és la desviació estàndard i x̅ és la mitjana aritmètica).

Aquesta mesura serveix per fer comparacions de la representativitat de les mitjanes quan es treballa amb distribucions de variables mesurades en diferents classes d’unitats. Això és possible gràcies al fet que el coeficient de variació no té unitats.

El coeficient de variació indica el nombre de vegades que la desviació estàndard conté la mitjana. Com més gran sigui el coeficient de variació, més vegades estarà continguda la mitjana i, per tant, a mesura que el coeficient creix, la representativitat de la mitjana baixa.

• El resultat del C.V. s’acostuma a multiplicar per 100 per obtenir una interpretació en termes percentuals.
• El valor mínim que pot prendre un coeficient de variació és zero, però no té límit superior.

Com més s'aproxima a zero el coeficient de variació, més petita és la dispersió de la distribució i més representativa resulta la seva mitjana.

Rang o Recorregut d'una Variable

El Rang (R) o recorregut d’una variable és la mesura més simple de dispersió. Es defineix com la diferència entre el valor màxim i el valor mínim de la variable que s'està estudiant:

R = Valor Màxim - Valor Mínim

La informació que proporciona el rang és molt puntual, però pot ser útil en determinats casos. Per exemple, si tenim una distribució d’edats i el rang és 5, i el total d'observacions són 50, podríem dir que existeix poca dispersió en aquesta distribució.

També serveix per saber a primera vista si una distribució presenta més dispersió que una altra (sempre que les unitats de mesura siguin les mateixes).

Exemple:

Si R = 27 - 18 = 9 anys, i només hi ha 20 observacions, això indica que la dispersió és elevada.

Quantils: Quartils, Decils i Percentils

A partir d’un mètode similar al del càlcul de la mediana (Me), podem trobar altres mesures que permeten mesurar la dispersió d’una distribució. Si en comptes de buscar un valor que divideixi la distribució en dues parts (Me), busquem els valors que la divideixen en 4, 10 o 100 parts, estarem calculant quartils, decils o percentils, respectivament.

Quartils (Q)

Els quartils divideixen la distribució en quatre parts iguals:

• Primer Quartil (Q₁): Recull el 25% de les freqüències.
• Segon Quartil (Q₂): Recull el 50% de les freqüències i, per tant, coincideix amb la Mediana (Me).
• Tercer Quartil (Q₃): És el valor de l'observació que recull el 75% de les freqüències.
• El quart quartil recull totes les freqüències (100%).

La Desviació Interquartílica es basa en la diferència entre Q₃ i Q₁ per mesurar la dispersió central.

Decils i Percentils

• Decils: Divideixen les freqüències en 10 parts iguals.
• Percentils: Divideixen les freqüències en 100 parts iguals.

Classificació de Variables Estadístiques

Les variables es classifiquen segons la naturalesa de les dades que recullen:

Variables Qualitatives

Fan referència a característiques o qualitats dels individus (no numèriques).

• Variables Nominals: Les dades no numèriques (alfanumèriques) en què no hi ha un ordre ni proporció.
• Variables Ordinals: Les dades presenten un ordre o jerarquia.
  • Exemples: Nivell d’estudis, categoria professional, rang militar (soldat, tinent, coronel).

Variables Quantitatives

Recullen característiques que es mesuren en quantitats (són numèriques).

• Variables Discretes: Prenen un valor preestablert clar (valors enters), no es defineixen en un interval, sinó en un valor propi.
• Variables Contínues (o de Raó/Proporcionals): Poden prendre qualsevol valor dins d'un interval.
  • Exemples: L'edat, l'altura, els ingressos mensuals i el pes.

Conceptes Addicionals en Anàlisi de Dades

Dispersió i Concentració

• Dispersió: Fa referència a la variabilitat de les dades i a la representativitat de la seva mitjana aritmètica.
• Concentració: Reflecteix el grau d'igualtat en el repartiment total dels valors de la variable (com ara la renda, el salari o el PIB).

Tipificació de Dades

Estandarditzar una variable consisteix a obtenir, a partir de les dades originals d’una variable X_i, uns nous valors Z_i (puntuacions Z).

Inèrcia i Correlació

• Inèrcia: En l'anàlisi de núvols de punts, és la mesura de dispersió dels mateixos segons el seu punt de gravetat.
• Correlació: Calcular el coeficient de correlació és equivalent a calcular la variància sobre les variables estandarditzades. En aquest cas, la matriu de variàncies i covariàncies s'anomena matriu de correlació.