Medidas Estadísticas Esenciales: Asimetría, Curtosis y Concentración de Datos

Medidas de Asimetría en Estadística

Las medidas de asimetría son indicadores fundamentales en estadística que permiten establecer el grado de simetría o asimetría que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria, sin necesidad de recurrir a su representación gráfica.

Coeficiente de Asimetría de Fisher

En teoría de la probabilidad y estadística, la medida de asimetría más utilizada se basa en el uso del tercer momento estándar. La razón de esto es que nos interesa mantener el signo de las desviaciones con respecto a la media, para determinar si las desviaciones que ocurren a la derecha de la media son mayores que las de la izquierda. Sin embargo, no es adecuado tomar el momento estándar con respecto a la media de orden 1, ya que una simple suma de todas las desviaciones siempre es cero. Por esta razón, lo más sencillo es utilizar las desviaciones al cubo.

El coeficiente de asimetría de Fisher se define como:

g₁ = m₃ / s³

Donde:

• m₃ es el tercer momento central (o momento en torno a la media).
• s es la desviación estándar.

La interpretación de este coeficiente es la siguiente:

• Si g₁ = 0: La distribución es simétrica.
• Si g₁ > 0: La distribución es asimétrica positiva o asimétrica a la derecha.
• Si g₁ < 0: La distribución es asimétrica negativa o asimétrica a la izquierda.

Medidas de Curtosis

Las medidas de curtosis se aplican a distribuciones campaniformes, unimodales y simétricas. Se definen como:

g₂ = (m₄ / s⁴) - 3

Donde:

• m₄ es el cuarto momento central.
• s es la desviación estándar.

La interpretación de la curtosis es:

• Si g₂ = 0: La distribución es mesocúrtica (similar a la distribución normal).
• Si g₂ > 0: La distribución es leptocúrtica (más apuntada que la normal, con colas más pesadas).
• Si g₂ < 0: La distribución es platicúrtica (más aplanada que la normal, con colas más ligeras).

Es importante destacar que a las medidas de curtosis no les afectan los cambios de escala.

Medidas de Concentración

Las medidas de concentración ponen de relieve el mayor o menor grado de igualdad en el reparto de los recursos o valores de una variable.

Tipos de Concentración

1. Concentración Máxima

   Ocurre cuando uno solo percibe el total y los demás nada. En este caso, nos encontramos ante un reparto no equitativo, representado como:

   x₁ = x₂ = x₃ = … = x_n-1 = 0 y x_n = Total

2. Concentración Mínima

   Se da cuando el conjunto total de valores de la variable está repartido por igual. En este caso, diremos que estamos ante un reparto equitativo, representado como:

   x₁ = x₂ = x₃ = … = x_n-1 = x_n

De las diferentes medidas de concentración que existen, nos centraremos en dos:

• Índice de Gini: Es un coeficiente numérico.
• Curva de Lorenz: Es una representación gráfica en ejes coordenados.

Curva de Lorenz: Representación e Interpretación

Si representamos gráficamente la distribución de los recursos, obtendremos la curva de concentración o curva de Lorenz. La representación se realiza en un sistema de ejes coordenados: en el eje X se ubican los valores p_i en porcentaje (%), y en el eje Y, los valores q_i en porcentaje (%).

Dado que se utilizan porcentajes, el gráfico resultante es un cuadrado. La curva de Lorenz se traza dentro de este cuadrado, uniendo los puntos (0,0) y (100,100), y siempre se sitúa por debajo de la diagonal principal (línea de perfecta equidad).

La interpretación de la curva de Lorenz es la siguiente:

• Cuanto más cerca se sitúe esta curva de la diagonal, menor concentración habrá, lo que indica una mayor homogeneidad en la distribución.
• Cuanto más se acerque a los ejes, por la parte inferior del cuadrado, mayor concentración.

Índice de Gini: Cálculo y Valores

Analíticamente, el índice de Gini se calcula mediante la siguiente ecuación:

[Ecuación del Índice de Gini]

Este índice tomará valores entre 0 y 1:

• IG = 0: Cuando p_i = q_i, lo que representa una concentración mínima o equidad perfecta.
• IG = 1: Cuando q_i = 0, lo que indica una concentración máxima o inequidad total.