Mecánica de Materiales: Torsión, Flexión Curva y Tensiones de Contacto de Hertz

Torsión en Rectángulos

La torsión en barras prismáticas rectangulares genera tensiones nulas en los vértices y máximas cerca del eje. La teoría elemental es insuficiente, por lo que se recurre a la Elasticidad, utilizando la función de Prandtl.

Centro de Torsión

El Centro de Torsión es el punto de giro. En secciones con dos ejes de simetría, este coincide con el Centro de Gravedad. Las tensiones y los ángulos dependen de la relación $a/b$. Si $a/b > 10$ (flejes), los coeficientes valen $1/3$.

Flexión Curva: Teoría de Winkler-Bach

En piezas curvas, el Eje Neutro no coincide con el Centroide y se desplaza hacia el interior. La distribución de tensiones no es lineal, y las fibras interiores soportan más carga. Las secciones planas siguen siendo planas.

Fórmulas Fundamentales

$$\epsilon = \frac{y \cdot d\phi}{(R - e + y) \cdot d\theta}$$

$$\sigma = \frac{M}{A \cdot e} \cdot \frac{y}{(R - e + y)}$$

$$e = R - \frac{A}{\int(dA/v)}$$

Aplicaciones

• Ganchos
• Anillos
• Abrazaderas
• Eslabones

Método Práctico de Wilson-Quereau

Este método utiliza la fórmula clásica con un factor $K$: $$\sigma = K \cdot \left(\frac{M \cdot c}{I}\right)$$

• Si $R/c > 20$, entonces $K \approx 1$.
• Si $R/c$ es pequeño, $K$ es grande.

Es más rápido que Winkler-Bach, pero aproximado.

Eslabones de Cadenas

Los eslabones combinan tramos rectos y curvos, con tensiones máximas en las zonas curvas. Se aproximan como un arco con carga axial. La fórmula utilizada es: $$\sigma = \frac{P}{A} \pm \frac{M}{W} \quad \text{con } M = P \cdot r$$

Flexión de Tubos Curvos

Los tubos huecos delgados tienden a ovalizarse, lo que reduce el Módulo Resistente. La fórmula práctica es: $$\sigma = \frac{M \cdot c}{I \cdot \left(1 - c^2/(2R^2)\right)}$$

Cargas Generales (Combinación de Esfuerzos)

En la práctica, no existe flexión pura. Aparece una Resultante $R$ que se descompone en:

1. Normal ($N$): con $\sigma = N/A$.
2. Cortante ($V$): con $\tau = (V/Ib) \cdot M_e$.

Estos esfuerzos se suman a los de flexión.

Resumen de Flexión Curva

• Winkler-Bach: Es exacto para secciones simples.
• Wilson-Quereau: Es práctico, utiliza el factor $K$.
• Las fibras interiores soportan mayores tensiones.
• En radios grandes, el comportamiento se aproxima al de una Viga Recta.
• Siempre se suman los efectos de Axial + Cortante + Flexión.

Tensiones de Contacto (Teoría de Hertz)

El contacto real entre cuerpos no es puntual ni lineal; siempre existe un área pequeña con presiones elevadas. Esta teoría, desarrollada por Hertz (1882), se aplica en:

• Rodamientos
• Engranajes
• Ruedas–Riel
• Cojinetes

Supuestos de la Teoría de Hertz

• Materiales elásticos lineales.
• Contacto sin fricción.
• Deformaciones pequeñas.
• Área de contacto pequeña.

Casos Específicos

Esfera-Plano

Zona de contacto circular de radio $a$.

• Radio $a$: $$a = \left(\frac{3FR}{4E^*}\right)^{1/3}$$
• Presión máxima $p_0$: $$p_0 = \frac{3F}{2\pi a^2}$$

La distribución de presión es parabólica.

Cilindros Paralelos

Contacto en franja de ancho $2b$.

• Ancho $b$: $$b = \sqrt{\frac{4FR'}{\pi L E^*}}$$
• Presión máxima $p_0$: $$p_0 = \frac{2F}{\pi b L}$$

La distribución de presión es elíptica.

Dos Esferas

Radio de contacto $a$: $$a = \left(\frac{3FR'}{4E^*}\right)^{1/3}$$

Donde el radio equivalente es $1/R' = 1/R_1 + 1/R_2$. La distribución es la misma que en el caso Esfera-Plano.

Conclusión de la Teoría de Hertz

La presión de contacto es muy elevada localmente. La teoría de Hertz predice el área de contacto y la presión máxima, siendo la base de normas de diseño. Sus limitaciones incluyen que no considera:

• Rugosidad
• Plasticidad
• Fricción

Torsión en Perfiles de Pared Delgada

Esta teoría se aplica a perfiles cuyo espesor es pequeño frente a sus dimensiones. Son usados en:

• Estructuras metálicas
• Aeronáutica
• Mecánica

Estos perfiles son más sensibles al alabeo y a las deformaciones torsionales.

Clasificación de Perfiles

La línea media se traza por los puntos medios de los espesores.

• Abiertos: Sin ramificar o ramificados.
• Cerrados: Una o varias celdas.

Perfiles Abiertos Sin Ramificar

La tensión cortante varía linealmente (máxima en bordes y nula en la línea media). Se utiliza la analogía de membrana. La curvatura influye poco y se aproximan a rectángulos equivalentes. Si $s/e > 10$, los coeficientes $\alpha$ y $\beta$ son aproximadamente $1/3$.

Perfiles Abiertos Ramificados

Ejemplos: Perfiles T y doble T. No se reducen a rectángulos. La deformación se asemeja a superficies cilíndricas paralelas a la línea media, salvo en ramificaciones y extremos libres.

Perfiles Cerrados

Ejemplos: Tubos, vigas cajón, fuselajes. El flujo cortante es constante en cada pared.

• Equilibrio: La suma de momentos internos es igual al momento torsor.
• Compatibilidad: Todas las celdas giran con el mismo ángulo.

Ángulo de Torsión Multicelular

El ángulo de torsión ($\theta$) se calcula mediante: $$\theta = \frac{1}{2 \cdot \Omega_i \cdot G} \oint \left(\frac{t_i}{e}\right) ds$$

Donde $A_i$ es el área de cada celda y $t_i$ es el flujo cortante. Se resuelve como un sistema de ecuaciones entre celdas.

Conclusiones de Torsión

Los perfiles delgados simplifican el análisis de torsión con buena aproximación. Se distinguen claramente los abiertos y cerrados, cada uno con su método propio. Las secciones cerradas multicelulares tienen mayor rigidez torsional. La Elasticidad y la función de Prandtl son herramientas clave en el diseño.