Maximización de la Utilidad y Equilibrio del Consumidor: Ejercicios Resueltos

Ejercicios de Microeconomía: Maximización de la Utilidad

1. Evaluación de la Cesta de Consumo Óptima

a) Las preferencias de un consumidor están representadas por la función de utilidad ordinaria U(x,y) = (5/2)xy². Si consideramos que la renta del consumidor (R) es de 1.000 dólares y, siendo P_x = 5 y P_y = 5 USD los precios de los bienes X e Y respectivamente, la cesta de consumo que maximiza la utilidad del consumidor es (X,Y) = (100, 200).

Respuesta: Falso.

Sea U(x,y) = (5/2)xy². Aplicando el método de Lagrange:

El Lagrangiano es L(x,y, μ) = (5/2)xy² + μ(1.000 - 5x - 5y). Derivando e igualando a cero:

• ∂L/∂x = (5/2)y² - 5μ = 0
• ∂L/∂y = 5xy - 5μ = 0

Resolviendo el sistema se obtiene la relación 2x = y. Sustituyendo en la restricción presupuestaria (1.000 = 5x + 5y):

1.000 = 5x + 5(2x) ⇒ 1.000 = 15x ⇒ x ≈ 66,67 e y ≈ 133,33.

Al analizar la segunda derivada, se observa que el valor es mayor que cero para cualquier valor de y, por lo tanto, el máximo es global.

2. El Efecto Renta y el Efecto Sustitución

b) El efecto renta siempre tiene, al igual que el efecto sustitución, signo negativo, de forma que siempre refuerza a este ante una variación en el precio del bien.

Respuesta: FALSO.

El efecto sustitución siempre tiene signo negativo (ya que, si aumenta o disminuye el precio de un bien, su consumo disminuye o aumenta respecto del otro bien con respecto al cual se ha, relativamente, encarecido o abaratado). Sin embargo, el efecto renta puede tener signo negativo cuando se trata de un bien normal, en cuyo caso reforzaría el efecto sustitución, pero también puede tener signo positivo cuando se trata de un bien inferior, de forma que actúa en sentido contrario al efecto sustitución.

3. Elección Óptima con Unidades Gratuitas

Un consumidor dispone de una renta de 100 unidades monetarias y se enfrenta a los precios de los dos únicos bienes x e y, P_x = 10 y P_y = 5. Si la función de utilidad del consumidor es de la forma U = x²y, y le ofrecen las dos primeras unidades del bien x gratuitamente, ¿cuál será su elección óptima?

Definiciones de Efectos:

• Efecto Sustitución (X1E): Del punto C al D, altera los precios relativos de los bienes X e Y, pero mantiene constante la renta real (la satisfacción).
• Efecto Renta (EX2): De D a B, mantiene constantes los precios relativos, pero aumenta el poder adquisitivo.

4. Cambios Simultáneos en los Precios

b) Dada una renta R, un cambio en los precios de dos bienes de forma simultánea provocará un desplazamiento de la ecuación de renta a la derecha o a la izquierda.

Respuesta: FALSO.

No necesariamente, ya que si el precio de un bien baja y el otro sube, cambiará la pendiente de la restricción presupuestaria, pero no necesariamente se desplazará de forma paralela por cambios en R.

5. Resolución de Caso Práctico: Renta de 80 Unidades

2.- Un consumidor dispone de una renta de 80 unidades monetarias y se enfrenta a los precios de los dos únicos bienes x e y, P_x = 10 y P_y = 5. Si la función de utilidad del consumidor es de la forma U = x²y, y le ofrecen las dos primeras unidades del bien x gratuitamente, ¿cuál será su elección óptima?

Solución:

• Si 0 ≤ x ≤ 2, entonces solo gastará en y: 5y = 80, por lo tanto y = 16.
• Si x ≥ 2, entonces su gasto será: 10(x - 2) + 5y = 80, es decir, 10x + 5y = 100.

El objetivo es maximizar la utilidad donde la relación de utilidades marginales sea igual a la relación de precios (UMg_x / P_x = UMg_y / P_y):

2xy / 10 = x² / 5

Despejando la ecuación: x² - xy = 0 ⇒ x(x - y) = 0. Los valores posibles son x = 0 o x = y. En este caso, tomamos x = y y sustituimos en la nueva ecuación de renta:

10x + 5x = 100 ⇒ 15x = 100 ⇒ x = y = 6,66.

6. Tabla de Utilidad Total y Marginal

A continuación, se presenta la tabla completada con los valores de Utilidad Total (UT) y Utilidad Marginal (UMg):