Mates 2 y 3
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Ejercicios de números complejos
1 Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0
2 Realiza las siguientes operaciones:
1
2
3
4
3 Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.
4Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.
5Calcula 
, dando el resultado en forma polar.
6 Calcula el valor de 
, y representa los afijos de sus raíces cúbicas.
7 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:
8 Expresa en función de cos α y sen α:
cos 5α y sen 5α
9 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
14 + 4i
2−2 + 2i
10 Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0
11 Expresa en función de cos α y sen α:
cos 3α y sen 3α
Ejercicios resueltos de números complejos
1
Calcular todas las raíces de la ecuación: x6 + 1 = 0
2
Realiza las siguientes operaciones:
1
2
3
4
3
Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.
4
Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.
5
Calcula , dando el resultado en forma polar.
6
Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces cúbicas.
7
Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:
8
Expresa en función de cos α y sen α:
cos 5α y sen 5α
Binomio de Newton
Fórmula de Moivre
9
Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
14 + 4i
2−2 + 2i
10
Calcular todas las raíces de la ecuación: x5 + 32 = 0
11
Expresa en función de cos α y sen α:
cos 3α y sen 3α
Binomio de Newton
Fórmula de Moivre
Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Hallar el simétrico del punto A(4, - 2) respecto de M(3, - 11).
2Dados dos vértices de un triángulo A(2, 1), B(1, 0) y el baricentro G(2/3, 0), calcular el tercer vértice.
3Dados los puntos A (3, 2) y B(5, 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga 
4Calcula las coordenadas de D para que el cuadrilátero de vértices: A(-1, -2), B(4, -1), C(5, 2) y D; sea un paralelogramo.
5 Si { 
, 
} forma una base ortonormal, calcular:
1 ·
2 ·
3 ·
4 ·
6 Dados los vectores =(2, k) y = (3, - 2), calcula k para que los vectores y sean:
1 Perpendiculares.
2 Paralelos.
3 Formen un ángulo de 60°.
7 Calcular el valor de k sabiendo que 
8 Suponiendo que respecto de la base ortonormal { , } del plano los vectores 
tienen como expresiones:
Calcular el valor de k para que los dos vectores sean ortogonales.
9 Calcula la proyección del vector 
sobre el vector 
.
10 Hallar un vector unitario de la misma dirección del vector 
.
Vectores. Producto escalar. Ejercicios
1Si M1(2, 1), M2(3, 3) y M3(6, 2) son los puntos medios de los lados de un triángulo, ¿cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo?
2Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6), C(1, -3) y D(-4, 2) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).
3Clasificar el triángulo determinado por los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).
4Normalizar los siguientes vectores: = (1, 
), = (-4, 3) y 
= (8. -8).
5Hallar k si el ángulo que forma = (3, k) con = (2, -1) vale:
1 90°
2 0°
3 45°
6Calcula la proyección del vector 
sobre el 
, siendo A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
7Comprobar que el segmento de une los puntos medios de los lados AB y AC del triángulo: A(3,5), B(-2,0), C(0,-3), es paralelo al lado BC e igual a su mitad.
8Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), B(3,5), C(-1,-1).
9Dados los vectores = (1, 4), = (1, 3) que constituyen una base. Expresar en esta base el vector = (−1, −1).
10Calcular el valor de a para que los vectores 
= 3
+ 4
y 
= a − 2 formen un ángulo de 45°.