Matematikaren Historia eta Kontzeptu Gakoak: Zenbakiak, Teoremak eta Geometria

Zenbakiak, Eragiketak eta Kalkulua

Zenbakia: Kantitate bat unitate batekiko konparatzen dugun emaitza da. Familia ezberdinak daude.

Eragiketa: Aldaketa edo transformazioa, modu askotarikotzat hartzen da.

Kantitatea: Magnitude bi edo gehiagoren arteko konparaketa.

Kalkulua: Emaitza ahalbidetzen duten prozeduren multzoa.

Zenbaki Zentzumena: Lortutako emaitzari dagozkion iritziak emateko gaitasuna.

Zifra: Ikur indo-arabiarra.

Oinarria: Sistema posizional batean, zifra bat ezker/eskuin posizioan bere balioa zenbat handitu/txikitu adierazten du.

Sistema Posizionala: Zifra bakoitzak balioa hartzen duen posizioaren araberakoa.

Arkimedes eta Pi-ren Hurbilketa

Arkimedes Sirakusan jaio zen K.a. 287an. Zientzialari eta matematikari famatua izan zen, eta Pi zenbakiaren hurbilketa bat lortu zuen. Hurbilketa hau poligono erregularren inskripzio (barrutik) eta zirkunskripzio (kanpotik) sail baten bidez egin zuen. Poligonoak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta hurbilago zegoen Pi-ren baliotik.

Thales eta Triangeluak

Thales K.a. 624 eta K.a. 548 urteen artean bizi izan zen filosofo eta astronomo greziarra izan zen. Egipton matematika, fisika eta geometria ikasi zituen. Bi teorema planteatu zituen:

• 1. Teorema: Aurkarien barkua zein distantziara dagoen kalkulatzea, makila bat erabiliz. (h/v = a+h/x).
• 2. Teorema: Keops piramidearen altuera kalkulatzea, triangelu antzekotasuna erabiliz. Bere itzala bere altueraren berdina zenean, eguzkiaren 45°-ko angelua sortzen zen (S=H).

Pitagoras eta Bere Teorema

Pitagoras (K.a. 580 - K.a. 495) filosofo eta matematikari greziarra izan zen. K.a. IV. mendean, eskola pitagorikoan teorema ospetsua sortu zen. Teorema honek dio triangelu zuzen batean, bi katetoek sorturiko karratuen batura hipotenusak sorturiko karratuaren berdina dela. Hau da: (a+b)² = c² + (ab/2)*4; a² + b² + 2ab = c² + 2ab; a² + b² = c².

Geometria Proiektiboa eta Artea

Geometria proiektiboak objektu geometrikoen intzidentzia propietateak aztertzen ditu. Gerard Desargues izan zen aitzindarietako bat.

• Fuga puntua: Proiekzio sistematiko jonikoa. Toki geometrikoa da, non bi zuzen paralelo norabide batean elkartzen diren.
• Puntu inpropioa: Zuzen paralelo guztiek komunean duten puntua da, entitate geometrikoa, eta infinitua ixten du.
• Artea: Geometria proiektiboak arteari sakontasuna ematen dio fuga puntua erabiliz.

Geometria Fraktala eta Natura

Benoit B. Mandelbrot (1924-2010) geometria fraktalaren aita izan zen. Objektu geometriko hauek egitura eskala desberdinetan errepikatzen dute, iteratiboki sortuak, algoritmo errekurtsiboen bidez.

Iterazioa (matematikoki): z -> f(z) -> f(f(z)) ...

Adibideak: Koch-en kurba, Dragoiaren kurba, Sierpinskiren triangelua eta alfonbra.

Autoantzekotasuna: Objektuaren osotasuna bere zati baten antzekoa denean gertatzen da.

Naturan adibide ugari aurki ditzakegu: birikak, ibaiak, hodeiak, zainak...

Geometria Ez-Euklidearra

Euklides matematikari greziarrak K.a. 300. urte inguruan "Elementuak" liburua idatzi zuen, arrakasta handia izan zuena. Bertan, bost postulatu ezarri zituen:

1. Bi puntu lotzeko, lerro zuzena erabili behar da.
2. Edozein segmentu luza daiteke norabide berean.
3. Puntu bat eta erradio bat emanda, zirkunferentzia bat atera daiteke.
4. Angelu zuzen guztiak berdinak dira.
5. Triangelu baten angelu guztien batura 180º da.

Bosgarren postulatua betetzen ez duten geometria motak ere badaude: geometria hiperbolikoa eta geometria eliptikoa.