Matematikako Kontzeptu eta Ariketen Laburpena

1. Zenbakien Sailkapena (1HH)

Zenbakien sailkapena honako hau da:

• Arrazionalak (Q): Zenbaki komadunak, zehatzak edo periododunak, zatikiz jarri daitezkeenak. Adibidez: 2 (zatiki eran jarri daiteke) eta 0,35.
• Osoak (Z): Zenbaki positibo eta negatiboak, komarik gabekoak. Adibidez: $\sqrt[3]{64}$ (64ren erro kubikoa).
• Naturalak (N): Zenbaki osoak eta positiboak, komarik gabeak. Adibidez: $4^2$ (4 ber 2).
• Irrazionalak (I): Periodorik ez dutenak. Adibidez: $\sqrt{5}$ (erro 5).
• Realak: DENAK!
• Ez Realak: Erro negatiboak dituzten zenbakiak. Adibidez: $\sqrt{-9}$ (erro minus 9).

Ariketa Batzuk

1. $100 \times 0,001 = 1 \times 10^2 \times 1 \times 10^{-3} = 10^{-1} = \frac{1}{10}$

$$\frac{0,003}{0,0009} = \frac{3 \times 10^{-2}}{9 \times 10^{-4}} = \frac{3 \times 10^{-2}}{3 \times 3 \times 10^{-4}} = \frac{1}{3 \times 10^{-4 - (-2)}} = \frac{10^2}{3} = \frac{100}{3}$$ (Oharra: Jatorrizko kalkuluan akatsak zeuden, zuzenketa egin da.)

Adibide oker bat:

$$\frac{3}{2} \neq \frac{3+4}{2+4} \rightarrow \frac{3}{2} \neq \frac{7}{6} \quad \textbf{(GEZURRA!)}$$

Oharra: Gehiketa ikurra denean, ezin da biderketetan bezala sinplifikatu.

2. $\frac{15x+15}{10x+10} = 2$

$$\frac{15(x+1)}{10(x+1)} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$$

Jatorrizko kalkulua (ekuazioa ebazteko):

$$\frac{15x+15}{10x+10} = 2 \rightarrow 15x+15 = 2(10x+10)$$ $$15x+15 = 20x+20$$ $$15-20 = 20x-15x$$ $$-5 = 5x \rightarrow x = -1$$

(Jatorrizko testuan egindako kalkulu luze eta akastuna zuzendu da, eta emaitza $-1$ da, ez $3$ eta $-10$).

Formulak

• $a^2+b^2+2ab = (a+b)^2$
• $a^2+b^2-2ab = (a-b)^2$
• $(a^2-b^2) = (a+b)(a-b)$

2. Ekuazio eta Inekuazioak (2HH)

Ekuazio eta Inekuazioen Desberdintasuna

Ekuazioek berdintza bat adierazten dute, adibidez: $7x-5=2$. Inekuazioek, aldiz, desberdintza bat adierazten dute eta inoiz ez dute izaten berdin ikurrik. Adibidez: $2x-3>6x$.

Buruketak Konkretuki

1. Karratu baten aldea 3m handiagotuz gero, azalerak 75m² handiagotzen da. Zenbatekoa da aldea?

Alboaren luzera $x$ bada:

$$x^2+75 = (x+3)^2$$ $$x^2+75 = x^2+6x+9$$ $$75-9 = 6x$$ $$66 = 6x \rightarrow x = 11$$

Aldea 11 metrokoa da.

2. Donostian BS-en kontzertua joateko Mirenek sarrerak erosi ditu. 4 sarrera oparituko balitu 12 baino gutxiagorekin geldituko litzateke. Zenbat sarrera lortu ditu Mirenek gehienez?

Sarrera kopurua $x$ bada:

$$x-4 < 12$$ $$x < 12+4$$ $$x < 16$$

Mirenek gehienez 15 sarrera lortu ditu (16 baino gutxiago).

3. Ama batek orain duen adina alabak hemendik bi urtera izango duen adinaren berbidura da, eta hemendik bi urtera, alabaren adina amak gaur egun duen adinaren seirena izango da.

Alaba gaur: $x$ | Ama gaur: $y$

Lehenengo baldintza: $y = (x+2)^2$

Bigarren baldintza: $x+2 = \frac{y}{6}$

Bigarren ekuaziotik: $y = 6(x+2)$

Lehenengoan ordezkatuz:

$$6(x+2) = (x+2)^2$$ $$6(x+2) = (x+2)(x+2)$$

Bi aldeak $(x+2)$z zatituz (suposatuz $x \neq -2$):

$$6 = x+2 \rightarrow x = 4$$

Alaba 4 urte ditu. Ama: $y = 6(4+2) = 36$ urte.

(Jatorrizko kalkuluak konplexuagoak ziren eta akatsak zituzten, adibidez $x^2=2x+8$ emaitzarekin amaitzen zen, baina interpretazio zuzena $x=4$ eta $y=36$ da.)

4. Lagun talde batek pisu bat alokatzea pentsatu du 600€-ren truke. Bi gehiago balira bakoitzak 25€ gutxiago ordaindu beharko luke. Zenbat lagun dira?

Lagun kopurua $x$, bakoitzaren prezioa $y$.

1) $xy = 600 \rightarrow y = \frac{600}{x}$

2) $(x+2)(y-25) = 600$

Ordezkapena eginez:

$$(x+2)\left(\frac{600}{x}-25\right) = 600$$ $$600 - 25x + \frac{1200}{x} - 50 = 600$$ $$-25x + \frac{1200}{x} - 50 = 0$$

Ekuazio osoa $x$-z biderkatuz:

$$-25x^2 - 50x + 1200 = 0$$

$-25$z zatituz:

$$x^2 + 2x - 48 = 0$$

Ebaztuz (formula orokorra erabiliz):

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-48)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 192}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 \pm 14}{2}$$

Emaitzak: $x = \frac{12}{2} = 6$ edo $x = \frac{-16}{2} = -8$. Lagun kopurua positiboa izan behar duenez, $x=6$.

Taldea 6 lagunek osatzen dute.

5. Kalkulatu 13m-ko diagonal eta 60m²-ko azalera duen laukizuzen baten neurriak.

Luzera $l$, zabalera $z$.

Azalera: $lz = 60 \rightarrow z = \frac{60}{l}$

Pitagoras: $l^2 + z^2 = 13^2 = 169$

Ordezkapena:

$$l^2 + \left(\frac{60}{l}\right)^2 = 169$$ $$l^2 + \frac{3600}{l^2} = 169$$

$l^2$-z biderkatuz:

$$l^4 + 3600 = 169l^2$$ $$l^4 - 169l^2 + 3600 = 0$$

Ekuazio bikarratua da. $u=l^2$ jarriz:

$$u^2 - 169u + 3600 = 0$$

Ebaztuz:

$$u = \frac{169 \pm \sqrt{169^2 - 4(3600)}}{2} = \frac{169 \pm \sqrt{28561 - 14400}}{2} = \frac{169 \pm \sqrt{14161}}{2} = \frac{169 \pm 119}{2}$$

Bi soluzio $u$-rako: $u_1 = \frac{288}{2} = 144$ eta $u_2 = \frac{50}{2} = 25$.

Luzerak ($l = \sqrt{u}$): $l_1 = \sqrt{144} = 12$ eta $l_2 = \sqrt{25} = 5$.

Neurriak 12m eta 5m dira.

Adierazpeneko Galderak

1. $x=2$ eta $x=\frac{1}{4}$ soluzioak dituen 2. mailako ekuazio bat idatzi

   Alderantzizko prozesua:

   • $x=2 \rightarrow x-2=0$
   • $x=\frac{1}{4} \rightarrow x-\frac{1}{4}=0$

   Biderkatu:

   $$(x-2)\left(x-\frac{1}{4}\right)=0$$ $$x^2 - \frac{1}{4}x - 2x + \frac{2}{4} = 0$$ $$x^2 - \frac{9}{4}x + \frac{1}{2} = 0$$

   Ekuazio osoa 4z biderkatuz (termino osoak lortzeko):

   $$\mathbf{4x^2 - 9x + 2 = 0}$$

2. Definitu inekuazio bat zer den eta adibide bat jarri

   Definizioa: Aldagaiak dituzten desberdintasunei inekuazioa deritzo. Ekuazioak $(=)$ ikurra izaten dute, bi adierazpenak baliokideen berdintza direlako. Baina inekuazioa bata bestea baino txikiagoa $(<)$, handiagoa $(>)$, berdina edo txikiagoa $(\le)$, edo berdina edo handiagoa $(\ge)$ izan daitezke.

   Adibidea: $2x+3 < 8x-2$

3. Bigarren mailako ekuazio batek zenbat emaitza izan ditzake?

   Bigarren mailako ekuazio batek gehienez bi emaitza (soluzio erreal) izan ditzake. Emaitza hauek diskriminantearen $(\Delta = b^2-4ac)$ arabera zehazten dira:

   • $\Delta > 0$: Bi soluzio erreal desberdin.
   • $\Delta = 0$: Soluzio erreal bakarra (edo bi berdinak).
   • $\Delta < 0$: Bi soluzio konplexu (ez errealak).

3. Trigonometria (3HH)

Definizioak (Zuzenak)

SINUA (sin): $\frac{\text{Kataketo Aurkakoa}}{\text{Hipotenusa}}$

KOSINUA (cos): $\frac{\text{Kataketo Ondokoa}}{\text{Hipotenusa}}$

TAGENTEA (tan): $\frac{\text{Kataketo Aurkakoa}}{\text{Kataketo Ondokoa}}$