Manual de Conversión y Resolución de Funciones Cuadráticas y Lineales

Formas de la Función Cuadrática

• Polinómica: $ax^2 + bx + c$
• Canónica: $a(x - x_v)^2 + y_v$ (útil para hallar el vértice)
• Factorizada: $a(x - x_1) \cdot (x - x_2)$

Conversiones entre Formas

De Polinómica a Factorizada

1. Saco las raíces de la polinómica con la fórmula:
2. Reemplazo las raíces en la nueva fórmula:

De Factorizada a Polinómica

Solo hay que resolver las operaciones indicadas.

De Polinómica a Canónica

1. Saco el vértice:
2. es $x_v$ y al reemplazarlo obtengo $y_v$.
3. Escribir la expresión resultante.

De Canónica a Polinómica

Resolver los paréntesis y potencias.

De Canónica a Factorizada

1. Resuelvo para obtener la forma polinómica.
2. Saco las raíces de la polinómica:
3. Reemplazo las raíces en la nueva fórmula:

De Factorizada a Canónica

1. Resuelvo para obtener la forma polinómica.
2. Saco el vértice de la polinómica:
3. Reemplazo $x_v$ en la función.
4. Armar la forma canónica.

Sistemas de Ecuaciones

Método de Sustitución

1. Despejo una de las variables ($y$ o $x$) en una de las funciones.
2. Sustituyo la expresión obtenida en la otra ecuación.
3. Resuelvo y sustituyo el valor hallado en la primera ecuación.

Método de Igualación

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se igualan las expresiones resultantes.
3. Se resuelve la ecuación.
4. Se sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones originales.

Método Gráfico

1. Despejo la variable $y$.
2. Dibujo las funciones en el plano cartesiano.

Clasificación de Sistemas

• Compatible determinada: Las rectas se cortan en un punto.
• Compatible indeterminada: Son la misma recta.
• Incompatible: Las rectas son paralelas.

Función Lineal

Fórmula:

• Pendiente ($m$): Se calcula como . Es el número que acompaña a la $x$.
• Ordenada al origen ($b$): Elijo un punto $(x, y)$ y reemplazo para despejar $b$.
• Raíces: Igualo $mx + b = 0$.
• Ordenada analíticamente: Sustituyo la $x$ por $0$.

Relación entre Rectas

• Paralela: Misma pendiente ($m$).
• Perpendicular: Pendiente invertida y con signo opuesto.
• Secante: Diferente pendiente.

Intersección entre Parábola y Recta

1. Se despeja $y$ en ambas funciones.
2. Se igualan las expresiones para obtener una nueva función.
3. Se calcula el discriminante ($b^2 - 4ac$):
   • Menor que 0: No se cortan.
   • Mayor que 0: Se cortan en 2 puntos.
   • Igual a 0: Se cortan en 1 punto.
4. Se sacan las raíces de la nueva función.
5. Se reemplaza el valor obtenido en una de las funciones originales.
6. Graficar ambas funciones.

Cómo Graficar

Si es cuadrática, se calculan las raíces ( ) y el vértice ( ). Luego, se reemplaza el vértice en la función y se procede a dibujar la parábola.