Lógica Proposicional: Operadores, Tablas de Verdad y Conceptos Esenciales

Introducción a la Lógica Proposicional

La lógica es el canon de la inferencia o argumentación válida. Es importante destacar que la lógica no verifica la verdad material de las proposiciones, sino la validez formal de los argumentos.

Conceptos Fundamentales

Canon

Conjunto ordenado de reglas o principios.

Inferencia

Proceso de derivar conclusiones a partir de premisas.

Validez

Un argumento es formalmente correcto, independientemente de la verdad o falsedad de sus premisas o conclusión.

Fórmula Bien Formada (FBF)

Aquella que utiliza correctamente las reglas de relación entre variables y conectivas, y que no es ambigua.

Tabla de Verdad

Procedimiento finito y automático utilizado para determinar el valor de verdad de una fórmula bien formada en función de los valores de verdad de sus componentes.

Características de la Lógica Simbólica

• Bivalente: Solo existen dos valores de verdad posibles: verdadero (1) o falso (0).
• Funcional de Verdad: El valor de verdad de una proposición compuesta depende exclusivamente del valor de verdad de sus proposiciones simples y de las conectivas utilizadas. Dadas unas premisas y aplicando las reglas adecuadas, siempre se llegará a una conclusión determinada.

Elementos de la Lógica Proposicional

Variables Proposicionales

Son un conjunto de letras (generalmente minúsculas como p, q, r... o mayúsculas como A, B, C...) que representan proposiciones simples. Constituyen la unidad mínima o vocabulario fundamental con la que se trabaja en lógica proposicional.

Conectivas Lógicas

Son símbolos que establecen relaciones entre las variables proposicionales o entre fórmulas. Pueden ser de dos tipos:

• Monádicas: Afectan a una única proposición.
  • Negación (¬): Altera el valor de verdad de la fórmula a la que afecta.
    • Verdadera: Cuando la fórmula a la que afecta es falsa.
    • Falsa: Cuando la fórmula a la que afecta es verdadera.

    Método de Reducción al Absurdo: Si, partiendo de una fórmula A, se llega a una contradicción, se demuestra que A es falsa. Este método cancela la relación entre la premisa y la contradicción, probando la falsedad de la premisa inicial.

• Diádicas: Afectan a dos proposiciones.
  • Conjunción (∧): Para construir una conjunción (A ∧ B), es necesario que sus dos miembros estén separados.
    • Verdadera: Solo cuando ambos miembros (A y B) son verdaderos.
    • Falsa: Cuando al menos uno de los dos miembros es falso.
  • Disyunción (∨): Si una fórmula bien formada cualquiera es cierta, podemos añadirle en disyunción cualquier otra.
    • Verdadera: Es suficiente con que uno de los dos miembros sea verdadero.
    • Falsa: Solo cuando ambos miembros son falsos.
  • Condicional (→): Si tenemos una fórmula bien formada (A) y la utilizamos para llegar a otra fórmula (B), demostramos que A es necesaria para alcanzar B. Se establece una relación de implicación (A → B).
    • Verdadera: Cuando el antecedente (A) es falso o el consecuente (B) es verdadero.
    • Falsa: Solo cuando el antecedente (A) es verdadero y el consecuente (B) es falso (es decir, de premisas verdaderas se llega a conclusiones falsas).
  • Bicondicional (↔): Para construir un bicondicional (A ↔ B), es necesario tener los dos condicionales opuestos que lo componen (A → B y B → A).
    • Verdadera: Cuando el antecedente y el consecuente tienen el mismo valor de verdad (ambos verdaderos o ambos falsos).
    • Falsa: Cuando el antecedente y el consecuente tienen valores de verdad diferentes.

Tipos de Fórmulas según su Tabla de Verdad

• Contradicción: Tipo de fórmula bien formada que, al construir su tabla de verdad, resulta en valores de verdad todos falsos (0).
• Tautología: Tipo de fórmula bien formada que, al construir su tabla de verdad, resulta en valores de verdad todos verdaderos (1).
• Contingencia: Tipo de fórmula bien formada que, al construir su tabla de verdad, resulta en una combinación de valores verdaderos (1) y falsos (0).