Lógica Proposicional: Definiciones Esenciales y Fundamentos de Lógica Matemática

Conceptos Fundamentales de Lógica Proposicional

Este documento presenta las definiciones esenciales y los principios básicos de la lógica proposicional, una rama fundamental de la lógica matemática que estudia las proposiciones y las relaciones entre ellas.

Forma Enunciativa

Una forma enunciativa es una expresión en la que intervienen variables de enunciado y conectivas lógicas, construida según las siguientes reglas:

• Cualquier variable de enunciado es una forma enunciativa.
• Si A y B son formas enunciativas, entonces (∼A), (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) y (A ↔ B) también lo son.

Tautología

Una forma enunciativa es una tautología si, con independencia del valor de verdad de las variables de enunciado simples que aparecen en ella, siempre toma el valor de verdad Verdadero (V).

Conjunto Adecuado de Conectivas

Un conjunto adecuado de conectivas es aquel en el que toda función de verdad puede representarse por medio de una forma enunciativa que solo contenga conectivas de dicho conjunto.

Contradicción

Una forma enunciativa es una contradicción si, con independencia del valor de verdad de las variables de enunciado simples que intervienen en ella, siempre toma el valor de verdad Falso (F).

Equivalencia Lógica

A es lógicamente equivalente a B (A ⇔ B) si la forma enunciativa A ↔ B es una tautología.

Implicación Lógica

A implica lógicamente a B (A ⇒ B) si la forma enunciativa A → B es una tautología.

Forma Argumentativa

Una forma argumentativa o argumentación es una sucesión de formas enunciativas A₁, A₂, ..., Aₙ, que denominamos hipótesis, junto con otra forma enunciativa A, que denominamos conclusión.

Argumentación y Métodos de Verificación

Argumentación Válida e Inválida

Sean A₁, A₂, …, Aₙ, B formas enunciativas. La forma argumentativa A₁, A₂, ..., Aₙ, ∴ B, que se lee como 'A₁, A₂, ..., Aₙ se deduce B', es válida si para cada asignación de valores de verdad de las variables que intervienen, y que hace que todas las premisas A₁, A₂, ..., Aₙ tomen el valor Verdadero (V), también hace que la conclusión B tome el valor Verdadero (V). En caso contrario, se dice que la forma argumentativa es inválida.

Método de Refutación

El método de refutación consiste en buscar una combinación de valores de verdad donde las premisas tomen el valor Verdadero (V) y la conclusión el valor Falso (F). Se inicia negando la conclusión y, a partir de ahí, se intenta que las premisas sean Verdaderas (V). Si esto es posible, la forma argumentativa es inválida; de lo contrario, es válida.

Formas Normales y Componentes Básicos

Conjunción Básica (Minterm)

Una conjunción básica (o minterm) es una forma enunciativa cuya tabla de verdad presenta un único caso Verdadero (V).

Disyunción Básica (Maxterm)

Una disyunción básica (o maxterm) es una forma enunciativa cuya tabla de verdad presenta un único caso Falso (F).

Forma Normal Conjuntiva (FNC)

Dada una forma enunciativa A que no sea una tautología, denominamos Forma Normal Conjuntiva (FNC) a la forma enunciativa lógicamente equivalente a A que resulta de la conjunción de las disyunciones básicas (o maxterms) asociadas a los casos Falsos (F) en su tabla de verdad.

Forma Normal Disyuntiva (FND)

Dada una forma enunciativa A que no sea una contradicción, denominamos Forma Normal Disyuntiva (FND) a la forma enunciativa lógicamente equivalente a A que resulta de la disyunción de las conjunciones básicas (o minterms) asociadas a los casos Verdaderos (V) en su tabla de verdad.