Lógica de clases y teoría de conjuntos: pertenencia, operaciones e igualdad
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Lógica de clases
La lógica de clases es aquella que pone de relieve la vinculación que hay entre los individuos y los conjuntos que se expresan en los enunciados a los cuales estos pueden pertenecer o no.
Clases y propiedades
Los individuos que pertenecen a una sola clase y son elementos de un mismo conjunto poseen iguales cualidades o atributos que los identifican como una parte de un todo.
Clases y proposiciones
El concepto de clase permite la correspondencia con el concepto de función proposicional monádica o predicado monádico.
Concepto de clase y conjunto
La clase es una entidad ideal que es representada en el pensamiento como conjunto, finito o infinito, tomado como un todo de objetos.
Pertenencia de los individuos a una clase
La relación de pertenencia es la conexión que existe entre un individuo y una clase, dentro de la cual él es un miembro. Lo podemos simbolizar de la siguiente forma: a ∈ A y su negación: a ∉ A.
Inclusión
La inclusión es una relación de orden entre los elementos de una familia de conjuntos. Se suele simbolizar como A ⊂ B (o A ⊆ B, según la convención) cuando todo elemento de A pertenece también a B.
Igualdad
La igualdad es la relación entre dos cantidades (o conjuntos) que tienen exactamente los mismos elementos. Teorema: A = B ⇔ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B). La igualdad de A y B se simboliza así: A = B y su equivalencia lógica se expresa mediante la doble implicación (⇔).
Clasificación de los conjuntos según el número de sus miembros
Según el número de sus miembros, los conjuntos se clasifican en cinco grupos:
- a. Conjunto finito
- b. Conjunto infinito
- c. Conjunto unitario
- d. Conjunto vacío
- e. Conjunto universal
Conjunto finito
Es el conjunto con un número de elementos fijos que se pueden contar.
Conjunto infinito
Es aquel conjunto cuyo número de elementos es infinito y no tiene fin. Ejemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Conjunto unitario
Es el conjunto que tiene un solo elemento y se representa así: C = {a}.
Conjunto vacío
Es el conjunto que no tiene ningún elemento o individuo. Se simboliza por ∅.
Conjunto universal
Es el conjunto que contiene todos los elementos o individuos posibles en un contexto dado. Se simboliza, en este texto, como E (también se usa comúnmente U).
Operaciones entre las clases
En estas operaciones se recurre a la relación de pertenencia del concepto.
Intersección de clases
La intersección de clases es el conjunto de elementos comunes a dos o más conjuntos. Se simboliza A ∩ B. Propiedades de la intersección: es conmutativa, asociativa y distributiva respecto de la unión (cuando aplica).
Clases disjuntas
Son aquellas clases que no tienen elementos en común. En términos lógicos, la pertenencia a una u otra puede expresarse con la disyunción «o», pero la característica esencial es que A ∩ B = ∅ cuando A y B son disjuntas.
Diferencia relativa entre las clases
La diferencia relativa entre las clases A y B, denotada por A − B (o A \ B), es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B.
Podemos expresar esta diferencia así: A − B = { x : x ∈ A y x ∉ B }. Aquí x representa los individuos; x es elemento de la clase A pero no es elemento de B.
Complemento de una clase
El complemento de una clase A es el conjunto de elementos del conjunto universal que no están en A. Se conoce también como complemento absoluto porque está contenido en el conjunto universal. Si se denota el conjunto universal por E, entonces el complemento de A se puede simbolizar como Ac = E \ A (o A' = E \ A), es decir, todos los elementos de E que no pertenecen a A.
Nota: en todo el texto se han corregido ortografía, puntuación y notación para mejorar la claridad sin eliminar contenido. Los símbolos lógicos y de pertenencia (∈, ∉, ⊂, ⊆, ∩, ∪, ∅) se han estandarizado para su correcta interpretación.