Límites, asíntotas y derivadas: conceptos esenciales y técnicas de resolución

Límites: concepto y tipos

El límite nos quiere dar una idea del comportamiento próximo a un valor.

Límites laterales

Existen los límites laterales en un punto; si ambos coinciden, entonces la función tiene un límite en dicho punto y el límite es el valor común de los límites laterales.

Límite en el infinito

Consiste en observar los valores de la función para valores indefinidamente grandes de la variable independiente x.

Si tuviéramos una expresión que no tiene sentido en los números reales, puede ser que el límite sea cero, finito o infinito. En algunos casos se habla de indeterminación cuando la forma no permite concluir el límite de manera directa.

Indeterminaciones y técnicas de resolución

Cuando las indeterminaciones vienen de un límite en el infinito de un cociente de polinomios, dividimos todos los términos del límite por la potencia de mayor grado.

Tipo 0/0

El tipo 0/0 significa que estamos calculando el límite de una expresión que da cero tanto en el numerador como en el denominador; en esos casos se descomponen los polinomios y se simplifica la expresión.

Indeterminaciones con raíces

Si tenemos una indeterminación que involucra raíces, debemos tener en cuenta el índice del radical. Para manipular expresiones con radicales puede ser necesario elevar o realizar cambios de variable adecuados para eliminar la indeterminación.

Si calculamos una expresión con raíces (por ejemplo, raíces cuadradas) y la indeterminación es 0/0, una técnica útil es multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión radical.

Indeterminaciones del tipo potencias

Las indeterminaciones de tipo potencias se pueden reducir a formas conocidas como 1 elevado al infinito, 0 elevado a 0, o infinito elevado a 0, y requieren técnicas específicas (por ejemplo, tomar logaritmos) para resolverlas.

Como consecuencia, tendremos teoremas y procedimientos similares para transformar estas formas y calcular su límite.

Ramas infinitas y asíntotas

Una rama infinita es una porción continua de la gráfica de una función que tiene longitud infinita. Una asíntota es una recta hacia la que se aproxima una rama infinita de la función.

• Si la rama es vertical, existe una asíntota vertical.
• Si la recta es horizontal, existe una asíntota horizontal.
• Si la recta tiene pendiente distinta de cero, existe una asíntota oblicua (o inclinada).

Las asíntotas verticales se encuentran en puntos que no pertenecen al dominio de la función, más concretamente en la frontera de su dominio, donde la función tiende a ±∞.

Para las asíntotas horizontales debe ocurrir que el límite de la función cuando x → ±∞ exista y sea finito. En la notación clásica, esa cifra pertenece a los números reales.

Las asíntotas oblicuas son rectas de la forma y = m x + n que se aproximan a la curva cuando |x| → ∞; se calculan obteniendo la pendiente m y la ordenada n a partir del comportamiento lineal de la función a infinito.

Continuidad

La continuidad de una función en un punto permite dibujar la función sin levantar el bolígrafo en ese punto. Deben cumplirse tres condiciones:

• La función debe estar definida en el punto.
• Debe existir el límite de la función en dicho punto.
• El valor del límite debe coincidir con el valor de la función en el punto.

Una rama infinita es una porción continua de su gráfica que tenga longitud infinita.

Derivadas

La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática según cambia el valor de su variable independiente.

La derivada se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo cuando el intervalo tiende a cero. Es decir, la derivada de una función f(x) en un punto x es el valor del límite, si existe, del cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.