Leyes de Kepler y mecánica orbital: satélites geoestacionarios y energía

Leyes de Kepler

Primera ley: Los planetas se mueven alrededor del Sol, describiendo órbitas elípticas, y el Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse.

Segunda ley: El radio vector que une cada planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales; es decir, para cada planeta la velocidad areolar se mantiene constante.

Tercera ley: Para todos los planetas que giran alrededor del Sol, los cuadrados de los periodos de las órbitas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores (a veces referidos como radios mayores) de las órbitas. En forma habitual: T² / a³ = constante.

Resumen formal

1. Órbitas elípticas con el Sol en un foco.
2. Áreas iguales en tiempos iguales — velocidad areolar constante.
3. T² proporcional a a³ (relación entre periodo y semieje mayor).

Trabajo externo y signo

• Wext < 0: El trabajo externo es negativo; en ese caso las masas realizan el trabajo.
• Wext > 0: El trabajo externo es positivo; nosotros (un agente externo) realizamos el trabajo.

Cambio de órbita y condiciones de escape

Considerando la energía mecánica total E_m del sistema (conservada salvo trabajo externo):

• E_m > 0: Trayectoria hiperbólica: la masa tiene velocidad en el infinito (energía cinética residual en infinito).
• E_m = 0: Trayectoria parabólica: la partícula alcanza el infinito con velocidad cero.
• E_m < 0: Trayectoria elíptica (ligada) si la energía es negativa.
• Si E_m ≥ 0, la masa puede escapar de la atracción gravitatoria de la masa M (se escapa del campo gravitatorio).

Casos y notaciones

• Existe E_co si hay velocidad inicial (V inicial).
• Existe E_po si la masa sale de la superficie de la Tierra.
• No existe E_cf si la masa sube y luego vuelve a bajar (no hay energía final ligada de ese tipo).
• Existe E_pf si hay radio de órbita definido.

Satélites geoestacionarios

Los satélites GEO son los satélites geoestacionarios; es decir, aquellos que, al encontrarse siempre encima del mismo punto de la Tierra, tienen un periodo de 24 horas, que es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor de su eje.

Relación entre velocidad, radio y periodo

A partir de la relación de la velocidad orbital con el campo gravitatorio: v = sqrt(G·M_t / r), y de la relación entre velocidad y periodo: v = ω·r = (2·π·r) / T, se obtiene el radio orbital aproximado para una órbita geoestacionaria.

El valor típico del radio desde el centro de la Tierra es r ≈ 42 250 km, por lo que la altura sobre la superficie terrestre (h) queda aproximadamente en h ≈ 42 250 km − R_t, donde R_t ≈ 6 370 km. Esto da una altura aproximada de h ≈ 35 880 km, que suele redondearse a ≈ 36 000 km sobre la superficie de la Tierra.

Ventajas y limitaciones

• Ventaja: Al permanecer siempre sobre el mismo punto, permiten registrar imágenes a intervalos muy cortos —muy útil para estudios meteorológicos.
• Limitación: La gran distancia a la Tierra reduce la resolución espacial. Para cobertura global y adecuada resolución es necesario situar varios satélites distribuidos uniformemente sobre la órbita geoestacionaria.

Bloque duplicado (texto repetido)

Leyes de Kepler: 1- Los planetas se mueven alrededor del Sol, describiendo órbitas elípticas, y el Sol se encuentra en uno de los focos de la elipse. 2- El radio vector que une cada planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales o, lo que es lo mismo, para cada planeta la velocidad areolar se mantiene constante. 3- Para todos los planetas que giran alrededor del Sol, los cuadrados de los periodos de las órbitas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores. T² / a³ = constante.

Fuerza +, - :

Wext < 0: las masas realizan el trabajo.

Wext > 0: nosotros realizamos el trabajo.

Cambio de órbita circular :

E_m > 0: Se escapa la atracción gravitatoria de la masa M (se escapa del campo gravitatorio).

E_m = 0: Trayectoria parabólica; llega al infinito y se para.

E_m < 0: Trayectoria hiperbólica —tiene velocidad en el infinito (E_c > 0).

Existe E_co si hay V inicial.

Existe E_po si la masa sale de la superficie de la Tierra.

NO existe E_cf si la masa sube y luego vuelve a bajar.

Existe E_pf si hay radio de órbita.

Satélites geoestacionarios:

Los satélites GEO son los satélites geoestacionarios; es decir, aquellos que, al encontrarse siempre encima del mismo punto de la Tierra, tienen un periodo de 24 horas, que es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor de su eje. A partir de la relación entre la velocidad y el radio v = sqrt(G·M_t / r) y de la relación entre la velocidad y el periodo v = ω·r = (2·π·r) / T, se obtiene un valor aproximado de 36 000 km para la altura sobre la superficie de una órbita geoestacionaria. Esto es el resultado de restar a r ≈ 42 250 km el radio de la Tierra R_t ≈ 6 370 km.

Todos los satélites que se ven siempre sobre el mismo punto por ser geoestacionarios están a la misma altura sobre la Tierra. Al verlos siempre desde la misma perspectiva, permiten registrar imágenes a intervalos muy cortos, lo que supone una ventaja importante para los estudios meteorológicos. Sin embargo, como la distancia a la Tierra es muy grande se pierde resolución espacial; por ello, es necesario situar varios satélites distribuidos uniformemente sobre la órbita geoestacionaria para tener una imagen global que cubra toda la superficie terrestre.