Leyes de Kepler y Gravitación Universal: Fundamentos de la Mecánica Celeste

Leyes de Kepler y Gravitación Universal

1ª Ley de Kepler: Órbitas Elípticas

Los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, en las que el Sol ocupa uno de los focos.

2ª Ley de Kepler: Velocidad y Barrido de Áreas

El vector de posición de cualquier planeta respecto del Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. La máxima velocidad orbital se da en el perihelio y la mínima de toda la órbita en el afelio.

3ª Ley de Kepler: Relación entre Periodo y Distancia

El cuadrado del periodo de revolución (T) de un planeta en torno al Sol es proporcional al cubo de la distancia media (R) del planeta al Sol.

Demostración de la Tercera Ley de Kepler

La demostración para órbitas elípticas utiliza la conservación del momento angular y la conservación de la energía mecánica. Para órbitas circulares, la justificación es susceptible de un sencillo tratamiento dinámico: si la órbita es circular, el planeta se mueve en torno al Sol siguiendo un Movimiento Circular Uniforme (MCU), donde la fuerza de atracción gravitacional es la fuerza centrípeta del movimiento.

Ley de Gravitación Universal

Todos los cuerpos en el universo se atraen con una fuerza que es:

• Directamente proporcional al producto de sus masas.
• Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

Las fuerzas poseen el mismo módulo y son de sentidos opuestos. Son fuerzas atractivas.

El módulo de las fuerzas es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Con la letra G se simboliza la constante de atracción universal.

Intensidad del Campo Gravitatorio

Una masa m crea en el espacio que la rodea un campo de fuerza, llamado campo gravitatorio. La intensidad de campo gravitatorio (g^->) en un punto se define como la fuerza que el campo ejerce sobre la unidad de masa colocada en ese punto.

Energía Potencial Gravitatoria

El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria que m realiza sobre m’ cuando esta última se desplaza de A hasta B es igual a la variación de la energía potencial cambiada de signo.

La energía potencial se convierte en el trabajo que debe realizarse contra el campo para transportar a m’ desde el infinito hasta el punto considerado con Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU).

• La Ep se anula cuando la distancia que separa a las masas es infinita.
• La Ep posee un valor negativo, como corresponde a una fuerza conservativa atractiva.
• La Ep asociada a un conjunto de masas puntuales es la suma de las Ep asociadas a cada uno de los distintos pares.

Ley de Coulomb y Electrostática

Ley de Coulomb

Nos proporciona la fuerza que ejercen dos cargas puntuales:

• Cargas del mismo signo se repelen.
• Cargas de distinto signo se atraen.

Sean dos partículas de cargas q y q’ separadas por una distancia r, estas se ejercen una fuerza directamente proporcional al cuadrado de las distancias que las separan. La dirección de la fuerza es la de las rectas que unen las cargas.

Campo Electrostático

Es aquella región del espacio en la que al colocar una carga eléctrica, esta se ve sometida a una fuerza de carácter electroestático. La intensidad de campo eléctrico se define como la fuerza que el campo realiza sobre la carga de prueba dividida por el valor de la carga. De este modo, E pasa únicamente a depender del punto del espacio ocupado por la carga.

Energía Potencial Electrostática

La fuerza electroestática que q realiza sobre q’ es una fuerza central. Por ser central, es conservativa. En estas condiciones, se deberá cumplir que el trabajo realizado por la fuerza conservativa E cuando q’ se desplaza desde A hasta B será igual a la variación de energía potencial asociada a la fuerza electroestática cambiada de signo.

El valor de la Ep corresponde al trabajo que debe realizarse contra la fuerza electroestática para transportar a q’ desde el infinito hasta la distancia r con MRU.

Potencial Electroestático

En un punto, coincide con el trabajo que debe realizarse contra el campo eléctrico para transportar 1 Coulomb (e) desde el infinito hasta el punto con MRU.

Superficie Equipotencial

Lugar geométrico del campo que tiene el mismo potencial electroestático. El trabajo realizado por la fuerza electroestática cuando una carga se mueve entre dos puntos de una superficie equipotencial es cero. Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de fuerza del campo.

Conservación de la Energía Mecánica

Una carga se desplaza entre dos puntos de un campo electroestático. Sobre la carga q tan solo actúa una fuerza electroestática que es conservativa. Por este motivo, la energía mecánica se conserva.