Isometrías en el plano: traslaciones, simetría axial y rotaciones para el aula

Isometrías

Isometrías: movimiento de una figura en el plano manteniendo el tamaño y la distancia entre los puntos. Van Hiele: nivel 1 (reconocer el tipo de isometría que se ha realizado), nivel 2 (saber hacer isometrías) y nivel 3 (saber hacerlas pero comprendiendo los pasos, las partes y el porqué; es decir, la definición matemática en sí, utilización de vector libre).

Composición y propiedades

Composición de traslación, conmutatividad: identificarla en Nivel 2, demostrarla en Nivel 3. Descomponer la traslación en Nivel 3.

Traslaciones

Traslaciones. Necesitamos un polígono y un vector, o un polígono y dos ejes; trasladamos la figura trazando paralelas al vector desde cada punto.

Para mejorar la comprensión: ejemplos y contraejemplos. Se pueden realizar en papel o en GeoGebra.

Niveles Van Hiele

• Nivel 2: características del vector — módulo, dirección, sentido.
• Nivel 3: composición de traslaciones; demostrar que se conservan las distancias midiendo entre cada vértice lo mismo que el vector; plantear si es posible descomponer el vector en dos componentes (por ejemplo, uno hacia la derecha y otro hacia arriba).

Dificultades en traslación

• No entender hasta dónde llega el vector.
• Confusión cuando el vector de traslación es paralelo a uno de los lados; tienden a poner que empieza en un extremo y acaba en otro.
• No comprender que la idea es llevar la figura al final del vector.

Simetría axial

Simetría axial. Hay dos ejes de simetría y otros perpendiculares. Procedimiento: trazar la perpendicular desde el punto al eje, medir la distancia y trasladar la medida al otro lado del eje.

La simetría es más difícil cuando el eje no es vertical ni horizontal. Errores frecuentes: falta de perpendicularidad, falta de equidistancia (no miden lo mismo desde el eje) y prolongaciones distintas.

Rotación / Giros

Rotación (giros). Necesitamos una figura y un centro de giro. Sentidos: sentido horario (derecha, normalmente asociado a signo −) y sentido antihorario (izquierda, asociado a signo +).

Formas de realizar giros

• Con compás y transportador: unimos el vértice con el centro de giro, con el transportador medimos el ángulo, marcamos la distancia entre el vértice y el centro y después la marcamos sobre la otra línea; unimos puntos.
• Con transportador y regla: procedimiento análogo sin compás.
• Con papel cebolla: la diferencia es que el papel gira en sentido contrario al giro aplicado a la figura.
• Con GeoGebra u otros programas digitales.

Dificultades en giros

• Es más fácil cuando el centro de giro está sobre la figura.
• Falta de equidistancia al centro (no respetan la distancia constante al centro).
• Falta de perpendicularidad en algunos pasos del trazado.

Notas sobre ángulos equivalentes: +180 y −180 son el mismo ángulo. Todos los ángulos tienen equivalentes (por ejemplo, 70° y −290°).

Cálculo del centro de giro

Procedimiento: tengo dos figuras correspondientes. Tomo dos pares de puntos correspondientes; para cada par trazo la mediatriz (recta perpendicular que pasa por el punto medio). Donde se cortan las mediatrices está el centro de giro.

Cálculo del ángulo de giro

Para calcular qué ángulo ha girado una figura: uno el centro de giro con cada uno de los dos puntos correspondientes y mido el ángulo formado con el transportador.

Combinaciones: simetría y traslación

Tengo una traslación y dos figuras: mido la distancia entre dos puntos, trazo un eje cualquiera y, después, mido la mitad de la distancia respecto al eje que he dibujado para trazar el otro eje.

Traslación mediante simetrías: con una figura y dos ejes, hago una simetría respecto al primer eje y, desde la figura simétrica, hago otra simetría respecto al segundo eje; por tanto, f1 y f3 serían una traslación. El vector resultante mide el doble que la distancia entre los ejes.

Rosetón y composiciones infinitas

Rosetón con simetría: hay infinitas simetrías si se cambia cada vez la operación desde la nueva figura generada. Rotaciones: rotamos muchas veces cambiando cada vez el eje o el centro desde la nueva figura generada. Ambas operaciones implican: punto, centro de giro y ángulo; al hacer un ángulo puede aparecer otro punto que genera nuevas transformaciones.

Definiciones y áreas

Definiciones:

• Diagonal: en una figura geométrica, une un vértice con otro no inmediato.
• Polígono: figura geométrica plana limitada por tres o más rectas (lados) y que tiene tres o más ángulos y vértices.
• Ángulo: porción de plano limitada por dos líneas que parten de un mismo punto, o por dos planos que parten de una misma recta; su abertura puede medirse en grados.
• Lado: parte diferenciada de una figura delimitada por segmentos, opuesta a otras partes similares en un polígono.

Observaciones finales

En el trabajo educativo conviene utilizar ejemplos y contraejemplos, actividades prácticas (papel, compás, transportador, regla, papel cebolla) y herramientas digitales como GeoGebra para consolidar los niveles de comprensión de Van Hiele (reconocer, hacer y justificar las isometrías).