Interpolación con Splines Cúbicas: Fundamentos y Aplicaciones

Splines Cúbicas

Las interpolaciones spline interpolan los datos de dos en dos. Esto significa que, por cada intervalo de datos, se genera un polinomio (al ser cúbicas, un polinomio de grado 3). En total, se obtienen n polinomios de grado 3, a diferencia de un único polinomio de grado n (como en el caso de Lagrange y Newton) o de grado 2n+1 (como en el caso de Hermite).

Comparación con otros métodos de interpolación

• Para n+1 puntos:
• Interpolaciones cúbicas: n polinomios de grado 3.
• Interpolaciones anteriores (Lagrange, Newton, Hermite): 1 polinomio de grado (n o 2n+1).

La principal ventaja de este tipo de interpolación es que el número total de datos a interpolar no afecta la estabilidad del resultado general, lo que la hace mucho más estable cuando se trabaja con un gran volumen de datos.

Forma General del Polinomio Interpolador Cúbico

Cada polinomio interpolador cúbico tiene la forma:

S_i(x) = a_i + b_i · (x − x_i) + c_i · (x − x_i)² + d_i · (x − x_i)³

Dado que tenemos n polinomios y en cada uno hay 4 incógnitas (a_i, b_i, c_i, d_i), el total asciende a 4n incógnitas.

Condiciones para la Resolución del Sistema

Necesitamos 4n condiciones para resolver el sistema:

• Continuidad en puntos interiores: Por cada punto interior (P₁, P₂, ..., P_n-1), pasan dos polinomios (por P_i pasan S_i-1(x) y S_i(x)). Para asegurar la continuidad entre los polinomios en cada punto y que, además, pasen por los puntos de entrada, se impone que el valor de cada polinomio en ese punto sea igual a y_i:
  • S_i-1(x_i) = y_i
  • S_i(x_i) = y_i
  Esto suma 2(n-1) condiciones.
• Paso por puntos extremos: Para que el primer y último polinomio (S₀(x) y S_n(x)) pasen por el primer y último punto (P₀ y P_n), se impone que esos polinomios en esos puntos sean iguales a y₀ y y_n, respectivamente:
  • S₀(x₀) = y₀
  • S_n(x_n) = y_n
  Esto añade 2 condiciones más.
• Continuidad de derivadas: Para asegurar una continuidad suave entre los polinomios, imponemos que las derivadas primera y segunda de dichos polinomios en los puntos intermedios coincidan:
  • Derivada primera: S'_i-1(x_i) = S'_i(x_i) (esto suma (n-1) condiciones más).
  • Derivada segunda: S''_i-1(x_i) = S''_i(x_i) (esto suma (n-1) condiciones más).

Las condiciones anteriores garantizan la construcción de polinomios interpoladores cúbicos continuos que pasan por todos los puntos y presentan una transición suave y continua.

Si sumamos todas estas condiciones, obtenemos un total de 4n-2 condiciones, por lo que aún faltan 2 condiciones adicionales para poder resolver el sistema.

Tipos de Splines Cúbicas según Condiciones Adicionales

Estas dos condiciones adicionales pueden ser arbitrarias. De hecho, diferentes tipos de splines cúbicas proponen distintas soluciones:

• Spline cúbico"no nod": Impone que los dos primeros y los dos últimos polinomios sean iguales:
  • S₀(x) = S₁(x)
  • S_n-1(x) = S_n(x)
• Spline cúbico"complet" o"amarrad": Impone que la derivada del primer y último polinomio en el primer y último punto, respectivamente, sean iguales a la derivada de la función (desconocida) en esos puntos. Esto requiere 2 datos adicionales: y'₀ y y'_n. Las condiciones son:
  • S'₀(x₀) = y'₀
  • S'_n(x_n) = y'_n
• Spline cúbico"natura": Impone que la segunda derivada del primer y último polinomio en el primer y último punto, respectivamente, sean iguales a la segunda derivada de la función (desconocida) en esos puntos. Si no se dispone de esa información, se igualan a 0. Las condiciones son:
  • S''₀(x₀) = y''₀
  • S''_n(x_n) = y''_n
  o bien
  • S''₀(x₀) = 0
  • S''_n(x_n) = 0