Interpolación Polinómica y Métodos Iterativos para Sistemas Lineales

Polinomio de Hermite: Fundamentos y Aplicación

El polinomio de Hermite se utiliza para interpolar (n+1) puntos con un único polinomio de grado (2n+1). Para ello, se emplean como datos de partida los pares (x,y) y la derivada de la función en cada punto (y').

Datos de Partida

Los datos iniciales requeridos son:

• (𝑥₀, 𝑦₀, 𝑦'₀)
• (𝑥₁, 𝑦₁, 𝑦'₁)
• (𝑥₂, 𝑦₂, 𝑦'₂)
• ...
• (𝑥_n, 𝑦_n, 𝑦'_n)

Fórmula del Polinomio de Hermite

El polinomio de Hermite se expresa como:

P_2n-1(x) = f(z₀) + ∑ f(z₀, z₁, ..., z_k)(x − z₀)(x − z₁)...(x − z_k-1)

Se define una nueva variable z_k, que toma k=2n valores. Esta se estima a partir de x_i de la siguiente manera: z_2i = z_2i+1 = x_i.

La función f(z₀, z₁, ..., z_k) se construye a partir de las diferencias divididas, de manera similar al polinomio interpolador de Newton, pero incorporando la condición de que la derivada del polinomio en cada punto coincida con la derivada de la función (y').

Construcción de las Diferencias Divididas

• Para z₀ = x₀:
  • f(z₀) = f(x₀)
  • f(z₀, z₁) = f'(x₀)
  • f(z₀, z₁, z₂) = (f(z₁, z₂) − f(z₀, z₁)) / (z₂ − z₀)
• Para z₁ = x₀:
  • f(z₁) = f(x₀)
  • f(z₁, z₂) = f(x₀, x₁) = (f(x₁) − f(x₀)) / (x₁ − x₀)
  • f(z₀, z₁, z₂) = (f(z₁, z₂) − f(z₀, z₁)) / (z₂ − z₀)
• Para z₂ = x₁:
  • f(z₂) = f(x₁)
  • f(z₂, z₃) = f'(x₁)
  • f(z₂, z₃, z₄) = (f(z₂, z₃) − f(z₃, z₄)) / (z₄ − z₂)
• Para z₃ = x₁:
  • f(z₃) = f(x₁)
  • f(z₃, z₄) = f(x₁, x₂) = (f(x₂) − f(x₁)) / (x₂ − x₁)
  • f(z₂, z₃, z₄) = (f(z₂, z₃) − f(z₃, z₄)) / (z₄ − z₂)

Polinomio de Lagrange: Interpolación y Aplicaciones

El polinomio de Lagrange se utiliza para interpolar (n+1) puntos con un único polinomio de grado (n), empleando como datos de partida los pares (x,y) de cada punto.

Datos de Partida

Los datos iniciales requeridos son:

• (𝑥₀, 𝑦₀)
• (𝑥₁, 𝑦₁)
• (𝑥₂, 𝑦₂)
• ...
• (𝑥_n, 𝑦_n)

Fórmula del Polinomio de Lagrange

El polinomio de Lagrange se define como:

P_n(x) = L₀(x) · f(x₀) + L₁(x) · f(x₁) + … + L_n(x) · f(x_n) = ∑ L_k(x) · f(x_k)

Donde: f(x_k) = y_k, es decir, el valor de la función en cada punto (dato de partida).

L_k(x) es una función que depende de x_k y tiene la siguiente forma:

L_k(x) = ∏ (x − x_i) / (x_k − x_i)

Es importante destacar que se debe generar una función L_k(x) por cada punto. En su construcción, intervienen todos los valores de x_i a interpolar, excepto el valor de x_k (el punto de estudio en cada caso). En el numerador, al intervenir la variable x y ser un multiplicador, se genera un polinomio de grado (n).

Sistemas Lineales Ax=b: Métodos Iterativos

Los métodos iterativos emplean una matriz auxiliar M para transformar el sistema lineal Ax=b.

Transformación del Sistema

Para transformar el sistema, sumamos y restamos la matriz M a la matriz de coeficientes A:

A = M + A − M

Sustituyendo en Ax=b:

(M + A − M)x = b

Mx = (M − A)x + b

Renombrando (M − A) como N:

Mx = Nx + b

Multiplicando toda la ecuación por la inversa de M (M^-1):

M^-1 · Mx = M^-1 · Nx + M^-1 · b

Renombrando nuevamente las matrices, obtenemos la forma iterativa:

x = Bx + C

Se parte de un valor inicial x⁽⁰⁾ y se calculan nuevos valores de x de forma iterativa mediante la expresión:

x^(k+1) = Bx^(k) + C

Principales Métodos Iterativos

Se pueden identificar tres tipos principales de métodos iterativos:

• Método de Jacobi: La matriz M es igual a D, una matriz diagonal formada por los valores de la matriz A.
• Método de Gauss-Seidel: La matriz M es igual a L+D, donde L es la matriz triangular inferior de A y D es la matriz diagonal.
• Método de Sobrerrelajación (SOR): La matriz M es igual a L + D/ω, donde L es la matriz triangular inferior de A, D es la matriz diagonal, y ω es un factor de relajación con un valor entre 0 y 2.